Untervektorraum

13.10.2009, 14:45

Black

Untervektorraum

Ich soll alle Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} (P(M_2),\ominus,\odot) \end{eqnarray*}$ angeben. Wobei $\begin{eqnarray*} M_2= \{1,2\} \end{eqnarray*}$

Nun enthält P(M_2) ja Mengen, das heißt hier sind die Vektoren Mengen?

Hier habe ich dann Probleme beim Nachweis von U2, also dass $\begin{eqnarray*} v+w \in U \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in U \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich nehme mir zb ein $\begin{eqnarray*} U_1\subseteq P(M_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_1= \{\{1\},\{1,2\}\} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall müsste ich also überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \{1\} +\{1,2\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ enthalten ist?

Aber wie soll ich 2 Mengen addieren?

13.10.2009, 14:48

kiste

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Wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} \ominus,\odot \end{eqnarray*}$ definiert?

Zitat:

Original von jester. aus
Beispiele für Vektorräume
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Pot}(M) \end{eqnarray*}$ bildet mit der Vektoraddition
$\begin{eqnarray*} \Delta~:~\operatorname{Pot}(M)\times \operatorname{Pot}(M)\to \operatorname{Pot}(M),~(X,Y)\mapsto (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) \end{eqnarray*}$
und der Skalarmultiplikation
$\begin{eqnarray*} \cdot ~:~ \mathbb F_2 \times \operatorname{Pot}(M) \to \operatorname{Pot}(M),~ (a,X)\mapsto \begin{cases}\emptyset&a\equiv 0\\X&a\equiv 1\end{cases} \end{eqnarray*}$
einen $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ -Vektorraum..

Etwa so?

13.10.2009, 14:53

Black

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Ja, genau so

13.10.2009, 14:56

kiste

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Das hättest du auch gleich schreiben können Lehrer

Dann sollte es ja kein Problem sein die Mengen zu addieren, du hast ja die Abbildungsvorschrift gegeben.
Setze eben X={1] und Y={1,2}
Aber naja, das wird sowieso nicht zum Erfolg führen, das neutrale Element ist nämlich die leere Menge. Die muss also in jedem potentiellen Unterraum vorhanden sein.

13.10.2009, 15:00

Black

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Zitat:

Original von kiste
Dann sollte es ja kein Problem sein die Mengen zu addieren, du hast ja die Abbildungsvorschrift gegeben.

Das ist genau der Punkt an dem ich hänge. In unserer Definition steht eben ich soll prüfen ob $\begin{eqnarray*} \{1\} +\{1,2\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Das heißt also das + aus der Definition ist hier das $\begin{eqnarray*} \ominus \end{eqnarray*}$ ?

13.10.2009, 15:01

kiste

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Zitat:

Original von Black
Das heißt also das + aus der Definition ist hier das $\begin{eqnarray*} \ominus \end{eqnarray*}$ ?

13.10.2009, 15:10

Black

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Aber wie soll man da alleine durch Definition draufkommen?

Da heißt es nur: "Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine Menge $\begin{eqnarray*} U \subseteq V \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Untervektorraum von V wenn gilt:

1. $\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} v+w \in U \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in U \end{eqnarray*}$

3. ...

Da ist ja nirgendwo die Rede von anderen Operatoren.

13.10.2009, 15:11

kiste

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Naja Mathematiker sind eben faul. Schreiben sie V ist ein K-VR so meinen sie normalerweise $\begin{eqnarray*} (V,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ ist ein K-VR. Falls also keine Verknüpfung angegeben ist nennt man sie automatisch +

13.10.2009, 15:17

Black

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Danke für deine Hilfe, aber ich glaub so langsam mag ich die Mathematiker nicht mehr - vor allem jene die Professor sind und meinen sie könnten in den Definitionen für Studienanfänger einfach mal so was unterschlagen traurig

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