Gleichung und Schnittpunktberechnung von Geraden und einer Ellipse |
13.10.2009, 21:00 | Dalice66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gleichung und Schnittpunktberechnung von Geraden und einer Ellipse ich soll folgende Aufgabe machen: In der (x; y)-Ebene ist eine Ellipse E mit dem Mittelpunkt (1;-2) und den Längen der Halbachsen 5 (in x-Richtung) und 3 (in y-Richtung) gegeben, sowie die Gerade G durch die Punkte a) (x1; y1) = (8;-7,5) und (x2; y2) = (-4; 4) ; b) (x1; y1) = (-4;-5) und (x2; y2) = (7=2; 4) : Stellen Sie Gleichungen für E und G auf und bestimmen Sie so die Schnittpunkte von E und G. Alles ganz nett... Für die Geraden habe ich folgende Gleichungen ermittelt: a) b) Was Halbachsen sind, habe ich mittlerweile nachgeschlagen. Ich habe aber absolut keine Idee, wie ich die Gleichung von E ermittlen soll. |
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13.10.2009, 21:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
.. könntest aber schon nachsehen. Sagt dir das etwas? mY+ |
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13.10.2009, 21:53 | Dalice66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Mythos, das kenne ich noch nicht. Sieht aber aus wie eine Art Grenzwertannäherung, oder so. |
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13.10.2009, 23:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach wo. Das ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren Mittelpunkt im Nullpunkt liegt. Wenn du das nicht kennst - wie kommt es dann, dass du ausgerechnet diese Aufgabe zu rechnen hast? Die Gleichung kann man mittels der Brennpunktdefinition der Ellipse herleiten: Die Brennpunkte liegen bei F1(e; 0) und F2(-e; 0) und es gilt: . Jeder Punkt P(x;y) der Ellipse unterliegt nun der Beziehung Rechnet man dies zu Ende, so ergibt sich letztendlich die bereits angegebene Gleichung. Falls die Ellipse zu den Achsen parallel verschoben wird, so dass deren Mittelpunkt M(m; n) ist, wird die Gleichung zu oder Siehe dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Ell..._Koordinaten.29 (Absatz: Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten) mY+ |
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14.10.2009, 21:41 | Dalice66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Mythos, tja, wie kommt's...Unser Prof. hat uns Aufgaben zum Üben gegeben. Ich habe mich gleich rangemacht und so weit gemacht, wie ich konnte. Eliipsenkram, oder besser, dass, was du mir dazu gezeigt hast, habe ich auf der Schule nie gesehen. Ich hatte zwar noch im Internet geforscht, aber keinen Ansatz gefunden. Somit bin ich dann hier gelandet. Du konntest aber an Hand meiner Geradengleichungen sehen, dass ich Willens war, den Kram hinzubekommen... Ich grübel noch über der Aufgabe... |
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14.10.2009, 23:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist nur eine Rechnerei. Du hast lediglich den Term von g(x) der Geradengleichung in die Ellipsengleichung an Stelle der Variablen y einzusetzen. Daraus ergibt sich eine quadratische Gleichung in x mit zwei Lösungen für x. Beachte, dass du diese (x) in die Geradengleichung (NICHT in die Ellipsengleichung) einzusetzen hast, willst du die y-Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln. mY+ |
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15.10.2009, 21:33 | Dalice66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Mythos, ich habe mal losgerechnet. Die Ausgangsformel war : Meine Geradengleichungen eingesetzt, ergeben: bleibt übrig: Das Ganze auf einen Nenner gebracht: Zusammengefasst, weggekürzt In ga(x) So, nun ist meine Zeichnung aber anders und ich kann sehen , dass diese Werte nicht stimmen. Wo liegt mein Fehler? |
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16.10.2009, 00:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider miserabel! Gleich mehrere Fehler! 1. Die Habachsenlängen sind a = 5, b = 3, daher die Quadrate 25 und 9. Was machen dann bei dir die Werte 2,5 und 1,5? 2. Beim zweiten Bruch falsch eingesetzt (es wird NUR das y durch das der Geradengleichung ersetzt!) und ausserdem auf das Quadrieren vergessen. 3. Über das "Kürzen" breiten wir lieber den Mantel des Schweigens 4. Wie kommst du von 59/4 auf 6? ____________________________________ Hinweis: Mache die Gleichung bruchfrei: Mit der eingesetzen Geradengleichung wird das zu: Und das sieht schon mal nicht mehr ganz so arg aus, obwohl noch einige Rechenarbeit angesagt ist. Du kannst durchaus diese Gleichung auch von einem CAS lösen lassen [ x = -0.6862 oder x = 4.4978 ]. mY+ |
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16.10.2009, 09:57 | Dalice66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Mythos, danke für die Mühe, aber es lohnt sich... Zu 1) Die Wikipediazeichnung der Ellipse zeigt a und b als die Hälfte der Halb- und Nebenachse, deswegen die Zahlen. Zu 2) Klar, quadrieren habe ich vergessen und den Zusammenhang zwischen dem eingesetzten Y und Y0 nicht erkannt Zu 3) Sage ich lieber auch nichts... Zu 4) Da kam ich drauf, weil ich meinen Bruch bereinigt habe. So, nun zum Ergebnis Die Schnittpunkte der zweiten Geraden werden analog berechnet. |
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17.10.2009, 23:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt schlicht und ergreifend NICHT. Die Zeichnung in http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse zeigt genau, dass a und b die Halbachsen der Ellipse sind. Daher sind a = 5, b = 3 richtig und a = 2,5, b = 1,5 einfach falsch. mY+ |
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18.10.2009, 10:10 | Dalice66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, vielen Dank für alles... Gruß Dalice |
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