Gleichung und Schnittpunktberechnung von Geraden und einer Ellipse

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Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung und Schnittpunktberechnung von Geraden und einer Ellipse
Hi Leute,
ich soll folgende Aufgabe machen:

In der (x; y)-Ebene ist eine Ellipse E mit dem Mittelpunkt (1;-2) und den Längen der Halbachsen
5 (in x-Richtung) und 3 (in y-Richtung) gegeben, sowie die Gerade G durch die Punkte
a) (x1; y1) = (8;-7,5) und (x2; y2) = (-4; 4) ;
b) (x1; y1) = (-4;-5) und (x2; y2) = (7=2; 4) :
Stellen Sie Gleichungen für E und G auf und bestimmen Sie so die Schnittpunkte von E und G.

Alles ganz nett...

Für die Geraden habe ich folgende Gleichungen ermittelt:

a)



b)



Was Halbachsen sind, habe ich mittlerweile nachgeschlagen. Ich habe aber absolut keine Idee, wie ich die Gleichung von E ermittlen soll.

verwirrt verwirrt verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. könntest aber schon nachsehen.







Sagt dir das etwas?

mY+
 
 
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mythos,
das kenne ich noch nicht. Sieht aber aus wie eine Art Grenzwertannäherung, oder so.

verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach wo. Das ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren Mittelpunkt im Nullpunkt liegt. Wenn du das nicht kennst - wie kommt es dann, dass du ausgerechnet diese Aufgabe zu rechnen hast?

Die Gleichung kann man mittels der Brennpunktdefinition der Ellipse herleiten:
Die Brennpunkte liegen bei F1(e; 0) und F2(-e; 0) und es gilt: .
Jeder Punkt P(x;y) der Ellipse unterliegt nun der Beziehung





Rechnet man dies zu Ende, so ergibt sich letztendlich die bereits angegebene Gleichung.

Falls die Ellipse zu den Achsen parallel verschoben wird, so dass deren Mittelpunkt M(m; n) ist, wird die Gleichung zu



oder



Siehe dazu
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Ell..._Koordinaten.29
(Absatz: Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten)

mY+
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mythos,
tja, wie kommt's...Unser Prof. hat uns Aufgaben zum Üben gegeben. Ich habe mich gleich rangemacht und so weit gemacht, wie ich konnte. Eliipsenkram, oder besser, dass, was du mir dazu gezeigt hast, habe ich auf der Schule nie gesehen. Ich hatte zwar noch im Internet geforscht, aber keinen Ansatz gefunden. Somit bin ich dann hier gelandet. Du konntest aber an Hand meiner Geradengleichungen sehen, dass ich Willens war, den Kram hinzubekommen... smile


Ich grübel noch über der Aufgabe...


Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nur eine Rechnerei. Du hast lediglich den Term von g(x) der Geradengleichung in die Ellipsengleichung an Stelle der Variablen y einzusetzen. Daraus ergibt sich eine quadratische Gleichung in x mit zwei Lösungen für x. Beachte, dass du diese (x) in die Geradengleichung (NICHT in die Ellipsengleichung) einzusetzen hast, willst du die y-Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln.

mY+
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mythos,
ich habe mal losgerechnet.

Die Ausgangsformel war :



Meine Geradengleichungen eingesetzt, ergeben:



bleibt übrig:



Das Ganze auf einen Nenner gebracht:



Zusammengefasst, weggekürzt







In ga(x)





So, nun ist meine Zeichnung aber anders und ich kann sehen , dass diese Werte nicht stimmen. Wo liegt mein Fehler?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Leider miserabel! Gleich mehrere Fehler!

1.
Die Habachsenlängen sind a = 5, b = 3, daher die Quadrate 25 und 9. Was machen dann bei dir die Werte 2,5 und 1,5?

2.
Beim zweiten Bruch falsch eingesetzt (es wird NUR das y durch das der Geradengleichung ersetzt!) und ausserdem auf das Quadrieren vergessen.

3.
Über das "Kürzen" breiten wir lieber den Mantel des Schweigens

4.
Wie kommst du von 59/4 auf 6?
____________________________________

Hinweis: Mache die Gleichung bruchfrei:



Mit der eingesetzen Geradengleichung wird das zu:



Und das sieht schon mal nicht mehr ganz so arg aus, obwohl noch einige Rechenarbeit angesagt ist. Du kannst durchaus diese Gleichung auch von einem CAS lösen lassen [ x = -0.6862 oder x = 4.4978 ].



mY+
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mythos,
danke für die Mühe, aber es lohnt sich...

Zu 1)

Die Wikipediazeichnung der Ellipse zeigt a und b als die Hälfte der Halb- und Nebenachse, deswegen die Zahlen.

Zu 2)

Klar, quadrieren habe ich vergessen und den Zusammenhang zwischen dem eingesetzten Y und Y0 nicht erkannt

Zu 3)

Sage ich lieber auch nichts... Spam

Zu 4)

Da kam ich drauf, weil ich meinen Bruch bereinigt habe.





So,

nun zum Ergebnis



Die Schnittpunkte der zweiten Geraden werden analog berechnet.

Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dalice66
...
Zu 1)

Die Wikipediazeichnung der Ellipse zeigt a und b als die Hälfte der Halb- und Nebenachse, deswegen die Zahlen.
...

Das stimmt schlicht und ergreifend NICHT. Die Zeichnung in

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

zeigt genau, dass a und b die Halbachsen der Ellipse sind. Daher sind a = 5, b = 3 richtig und a = 2,5, b = 1,5 einfach falsch.

mY+
Dalice66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,
vielen Dank für alles...

Gruß

Dalice
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