Vollständige Induktion mit Ungleichungen

14.10.2009, 11:16

Rumpfi

Vollständige Induktion mit Ungleichungen

Ich habe hier eine einfache Ungleichung, die aber für mich schwer mit vollständiger induktion zu lösen ist.

$\begin{eqnarray*} 3^{n} n^{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Hab die ersten 3 Stufen gemacht und muss folgendes Beweisen.

$\begin{eqnarray*} 3^{n} \geq n^{2} \Rightarrow 3^{n+1} \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{n+1} \geq 3n^{2} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle komm ich nicht mehr weiter, hab versucht, 3n² zu zerteilen, scheitere aber trotzdem.

Bitte um hilfe Gott

mfg Rumpfi

14.10.2009, 11:28

Mazze

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$\begin{eqnarray*} 1 \leq n^2 \end{eqnarray*}$ ist Dir sicher klar, zudem gilt $\begin{eqnarray*} 2n \leq n^2 ~ \text{für}~ n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Naja, und $\begin{eqnarray*} 3n^2 = n^2 + n^2 + n^2 \end{eqnarray*}$ ist dir sicher auch klar. Mit $\begin{eqnarray*} n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ist das jetzt ein Kinderspiel Augenzwinkern

14.10.2009, 13:56

Rumpfi

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Es ist schon klar, das $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} = n^{2} + 2n+1 \end{eqnarray*}$ ist. Der Prof hat uns nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie kann ich $\begin{eqnarray*} n^{2} \Rightarrow 2n \end{eqnarray*}$ machen. Wäre das eine Differenzialgleichung, wäre das was anderes.

14.10.2009, 14:07

Mazze

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Zitat:

Wie kann ich $\begin{eqnarray*} n^{2} \Rightarrow 2n \end{eqnarray*}$ machen.

Aus $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ folgt also $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ . Denk nochmal genau darüber nach. Das ergibt absolut keinen Sinn Augenzwinkern

. Die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} n^2 \geq 2n \end{eqnarray*}$

kann man auch durch vollständige Induktion zeigen!

Zitat:

Wäre das eine Differenzialgleichung, wäre das was anderes.

Was hat das Ganze mit Differentialgleichungen zu tun?

edit:

$\begin{eqnarray*} n^2 \geq 2n \Leftrightarrow n \geq 2 \end{eqnarray*}$

so gehts noch einfacher.

15.10.2009, 08:13

Rumpfi

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Zitat:

Original von Mazze

$\begin{eqnarray*} n^2 \geq 2n \Leftrightarrow n \geq 2 \end{eqnarray*}$

so gehts noch einfacher.

jetzt kapier ichs

$\begin{eqnarray*} 3n^{2} = n^{2} n^{2} n^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{2} = n*n \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} n^{2} \geq 2n \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Wenn $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} 1\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist falsch.
Wenn $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} 4\geq 4 \end{eqnarray*}$ ist wahr.

Dann kann ich 3^{n+1} \geq n^{2} + 2n + 1 machen und das als $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ umschreiben.

thx Mazze

15.10.2009, 08:52

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Du lässt gern mal die Operanden- bzw. Relationszeichen weg - ist mir im Eröffnungsbeitrag ( $\begin{eqnarray*} 3^{n} n^{2} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 3^{n} \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ ) schon aufgefallen:

Zitat:

Original von Rumpfi
$\begin{eqnarray*} 3n^{2} = n^{2} n^{2} n^{2} \end{eqnarray*}$

Offenbar meinst du $\begin{eqnarray*} 3n^{2} = n^{2} + n^{2} + n^{2} \end{eqnarray*}$ .

15.10.2009, 10:58

Rumpfi

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Ja, sorry, passiert mir hin und wieder. hab anstelle von $\begin{eqnarray*} 3n^{2} \end{eqnarray*}$ hab ich $\begin{eqnarray*} n^{6} \end{eqnarray*}$ geschrieben.

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