Wegzusammenhängend |
| 07.06.2004, 20:28 | summer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wegzusammenhängend a) Sei x0=(-1,0), x1=(1,0) und H:=(B1(x0) vereinigt B1(x1)) Teilmenge R². Zeigen Sie, das H nicht wegzusammenhängend ist. b)Sei G Teilmenge R hoch n ein Gebiet. Zeigen Sie, dass sich je zwei Punkte x,y von G durch einen Polygonzug in G verbinden lasen, d.h. es existieren Punkte z0,...,zk in G, so dass z0=x, zk=y und [z(i-1),zi] Teilmenge G, für i=1,....,k. Danke schon mal im Vorraus :] |
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| 07.06.2004, 21:24 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also den a)-Teil schaffst du auch selbst. Wir helfen dir dann, ihn mathematisch aufzuschreiben. Schiess mal in deinen eigenen Worten los! b) Du startest bei deinem Weg zwischen 2 beliebigen Punkten aus dem Gebiet, der ja wieder im Gebiet liegt. Diesen Weg überdeckst du mit allen offenen Kugeln, deren Mittelpunkt auf dem Weg liegen und die ganz in dem Gebiet liegen. Da der Weg kompakt ist, reichen endlich viele dieser Kugeln aus, um den Weg ganz zu überdecken. Wir können davon ausgehen, dass die Mittelpunkte dieser Kugeln paarweise verschieden sind. Nun sortieren wir die Kugeln in der naheliegenden Reihenfolge (so wie sie auf dem Weg liegen). Benachbarte Kugeln haben einen nichtleeren Schnitt, durch den der Weg geht. Wir wählen aus jedem solchen Schnitt einen Wegpunkt aus und legen unseren Polygonzug durch diese Punkte. Der Polygonzug liegt damit ganz in dem Gebiet. |
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| 08.06.2004, 06:57 | summer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na bei a) wollt ichs mit einem widerspruchsbeweis versuchen!! ich hab die zwei kugeln B1(x0) und B1(x1), dann nehme ich an, dass es einen weg gibt durch denn sich x0 und x1 verbinden lassen!! die abgeschlossenen kugeln schneiden sich, daraus folgt, das b1(x0) vereinigt b1(x1) = 0 ist. damit hätten die beiden kugeln einen gemeinsamen punkt und H wären wegzusammenhängend. da sich aber die kugeln nur im rand schneiden, welcher welcher nicht dazu gehört, ist H nicht zusammenhängen, weil die mengen keinen gemeinsamen punkt haben. |
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| 08.06.2004, 07:20 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das ist die richtige Idee: Du brauchst keinen Widerspruchsbeweis, sondern stellst einfach fest, dass diese Menge aus zwei disjunkten nichtleeren offenen Teilmengen besteht. Damit erfüllt sie eine Definition von Unzusammenhang. Und eine unzusammenhängende Menge ist auch nicht wegzusammenhängend. Alternativ kannst du auch einfach feststellen, dass ein Weg, der x0 und x1 verbinden wollte, irgendwo die y-Achse überqueren muss. Aber kein Punkt der y-Achse gehört zur Menge. |
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