Kombinatorik-Aufgabe

26.09.2006, 13:43

Kain

Kombinatorik-Aufgabe

unter den 100 losen einer lotterie befinden sich 2 hauptgewinne, 8 einfache gewinne und 20 trostpreise.
a) mit welcher wahrscheinlichkeit befinden sich unter 5 gezogenen losen genau ein hauptgewinn und sonst nur nieten (niete bedeutet überhaupt kein gewinn)?
b) mit welcher wahrscheinlichkeit befinden sich unter 10 gezogenen losen genau 2 einfache gewinne, 3 trostpreise und sonst nur nieten?

zu a)

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 70 \\ 4 \\\end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 100 \\ 5 \\\end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

ich bin mir nicht ganz sicher, ob man das so rechnen kann, weil im nenner 100 über 5 steht und ich immer dachte, dass das 70 (von 70 über 4)+ 2(von 2 über 1 sein müsste), aber dann würde das ja auch net stimmen. darum wollte ich erstmal fragen, ob das wirklich so richtig ist

26.09.2006, 14:02

therisen

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Das schaut gut aus Freude

26.09.2006, 14:37

Kain

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danke für die antwort.
dann müsste b folgendes sein, oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 70 \\ 5 \\\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 80 \\ 5 \\ \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

anschließend bräucht ich noch dringend hilfe bei dieser aufgabe:
tick, trick und track finden bei einer schatzsuche 4 münzen, die sie untereinander zufällig aufteilen, wobei jede aufteilungsmöglichkeit gleichwahrscheinlich sein soll.
a) wie viele aufteilungsmöglichkeiten gibt es?
b) mit welcher wahrscheinlichkeit erhält jeder der drei brüder mindestens eine münze?

a)ich weiß leider nicht, wie man die aufteilungsmöglichkeiten rechnerisch bestimmt, aber durch aufzeichnen bin ich auf 12 gekommen.
b)da es 4 münzen sind und alle die gleiche wahrscheinlichkeit haben eine zu kriegen, komm ich bei 4 mal ziehen ohne zurücklegen und ohne beachtung der reihenfolge auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\cdot 3 \end{eqnarray*}$
und die mal drei wegen den drei möglichkeiten, dass einer 2 bekommt:
2/1/1
1/2/1
1/1/2

ist das richtig?

26.09.2006, 15:08

therisen

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Zitat:

Original von Kain
danke für die antwort.
dann müsste b folgendes sein, oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 70 \\ 5 \\\end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 80 \\ 5 \\ \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Der Nenner passt nicht. Denk nochmal nach.

Zitat:

anschließend bräucht ich noch dringend hilfe bei dieser aufgabe:
tick, trick und track finden bei einer schatzsuche 4 münzen, die sie untereinander zufällig aufteilen, wobei jede aufteilungsmöglichkeit gleichwahrscheinlich sein soll.
a) wie viele aufteilungsmöglichkeiten gibt es?
b) mit welcher wahrscheinlichkeit erhält jeder der drei brüder mindestens eine münze?

[quote]
a)ich weiß leider nicht, wie man die aufteilungsmöglichkeiten rechnerisch bestimmt, aber durch aufzeichnen bin ich auf 12 gekommen.
b)da es 4 münzen sind und alle die gleiche wahrscheinlichkeit haben eine zu kriegen, komm ich bei 4 mal ziehen ohne zurücklegen und ohne beachtung der reihenfolge auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\cdot 3 \end{eqnarray*}$
und die mal drei wegen den drei möglichkeiten, dass einer 2 bekommt:
2/1/1
1/2/1
1/1/2
ist das richtig?

Zu a) Schreib doch mal deine 12 Fälle auf.

26.09.2006, 15:10

Kain

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stimmt, das mit dem nenner ist ein schreibfehler. statt 80 sollte da 100 stehen.

die 12 möglichkeiten:
211
121
112
220
022
202
310
031
103
400
040
004

26.09.2006, 16:08

therisen

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Der Nenner stimmt noch immer nicht...

Zur anderen Aufgabe:

Und was ist mit

Zitat:

013
301
130

Das ist immer die Gefahr beim manuellen Abzählen Augenzwinkern

Stell dir das mal so vor: Du hast insgesamt 6 Kästchen zur Auswahl und sollst jetzt zwei Trennstriche auf diese 6 Kästchen aufteilen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge). Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Gruß, therisen

26.09.2006, 17:39

Kain

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zum ersten: 100 über 10

zum anderen:
ich komm auf 21, aber wie bestimmt man die anzahl rechnerisch?

26.09.2006, 18:14

therisen

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Das erste stimmt jetzt, aber das zweite ist falsch. Ich habe Aufgabe a) nur äquivalent umformuliert, herauskommen muss also ebenfalls 15. Aber dieses Modell, das ich aufgeführt habe, benötigt man, um die Anzahl rechnerisch zu bestimmen. Also, probier mal ein wenig rum, bis du als Ergebnis 15 hast. Das ist eine Standardaufgabe der Kombinatorik (zur Not blätter mal ein wenig in deinem Heft oder Buch).

Gruß, therisen

26.09.2006, 18:46

Kain

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ich kenn ziehen mit zurücklegen unter beachtung der reihenfolge:
n^k
ziehen ohne zurücklegen unter beachtung der reihenfolge:
n*(n-1)...*(n-k+1)
und ziehen ohne zurücklegen ohne beachtung der reihenfolge, was dann der binomialkoeffizient wäre.

bei diesem fall kann ich irgendeine formel anwenden, aber die 15 krieg ich nicht raus

26.09.2006, 18:47

therisen

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Zitat:

und ziehen ohne zurücklegen ohne beachtung der reihenfolge, was dann der binomialkoeffizient wäre.

Probier's mal damit Augenzwinkern

6 Plätze sind frei und 2 sollst du belegen...

26.09.2006, 18:48

Kain

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bei 6 über 2 krieg ich 15, aber warum 6 und 2 versteh ich in diesem fall nicht so ganz, weil man ja 4 münzen und 3 leute hat

26.09.2006, 18:53

therisen

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$\begin{eqnarray*} 6 \choose 2 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Man stellt sich die 4 Münzen (Plätze) in einer Reihe liegend vor. Nun fügt man 3-1=2 weitere Plätze hinzu:

code:
1:	_ _ _ _ _ _

Die 2 Trennstriche, die man nun auf die 6 Plätze verteilt, geben an, wie viel jeder bekommt. Zum Beispiel bedeutet

code:
1:	_ \| _ _ \| _

dass Tick 1, Trick 2 und Track 1 Münze bekommt.

code:
1:	_ _ _ _ \| \|

würde 400 entsprechen.

Versuch mal, dir das zu veranschaulichen, das ist sehr wichtig.

26.09.2006, 19:36

Kain

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wie kommt man auf die 3-1=2? und warum werden einfach zwei weitere plätze hinzugefügt?
ansonsten ist das beispiel verständlich

26.09.2006, 19:37

therisen

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Weil man 2 Trennstriche auf den 6 Plätzen braucht, um die Münzen auf 3 Leute aufzuteilen. Bei 3 Trennstrichen gäbe es ja 4 Zwischenräume. Und die Zahl der Münzen pro Zwischenraum gibt ja an, wie viel die jeweilige Ente bekommt.

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