Ungleichung

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14.10.2009, 14:46	HilfeBeiMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Hallo, ich habe eine Frage, zunächst mal zu Ungleichungen allgemein: Kann ich jede Ungleichung durch Faktorisieren und eine Fallunterscheidung lösen, oder kommt es auf die Form der Ungleichung an, und dann darf ich nur eine der beiden Vorgehensweisen wählen? Habe hier eine Aufgabe (und die ist auch nur ein Beispiel, mit dem ich versucht habe, es zu verstehen) aber mir fehlt völlig der Ansatz (x+1)²(x-2)(x-3)³ >0 wenn ich für das erste x -1 einsetze, für das zweite 2 und für das dritte eine zahl, die positiv und größer als 3 ist, dann würde ja links etwas positives und rechts > 0 stehen, was ja an sich richtig ist. Aber ist das richtig? und falls ja, wie schreibe ich das korrekt als Lösung hin? Danke für eure Hilfe, hab sie echt bitter nötig! Gruß
14.10.2009, 14:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Es kommt immer darauf an, was links und rechts neben dem Ungleichheitszeichen steht. Da kann man keinen allgemeingülten "do-it" Plan rausgeben. Dein Beispiel: $\begin{eqnarray} (x+1)²(x-2)(x-3)³ >0 \end{eqnarray}$ 1. Frage: Welche Zahlen darf man für x einsetzen? Schulmathe und Zahlen aus IR? Dann $\begin{eqnarray} \underbrace{(x+1)²}_{\geq 0}(x-2)(x-3)³ >0 \end{eqnarray}$ Damit das also nicht 0 wird, fliegt aus IR schon mal die (-1) raus. Für alle anderen ist der Faktor >0. Wir können das Problem reduzieren auf: $\begin{eqnarray} (x-2)(x-3)³ >0 \end{eqnarray}$ Raus fliegen schon mal (2) und (3), da sonst links 0 stehen würde. Nun machen wir Fallunterscheidung Soweit klar?
14.10.2009, 14:59	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
so, hab mich jetzt angemeldet, hab auch gerade erst entdeckt, dass es einen Bereich für Hochschulmathematik gibt, da gehört mein Thema wohl eher hin. Falls irgendwer den Beitrag noch ins richtige Topic verschieben kann, ich denke mal das kann ich als normaler User nicht. Wenn ich das richtig verstanden habe, darf man so ziemlich alles einsetzen, außer Komplexe Zahlen (falls das überhaupt geht?). und ja, deine erläuterungen habe ich soweit verstanden.
14.10.2009, 15:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so schon erstmal noch Schulmathe. Außer du gibst für x komplizierte Mengen vor. Die Ungleichung an sich trifft darüber gar keine Aussage. Also bleiben wir bei IR? $\begin{eqnarray} (x-2)(x-3)³ >0 \end{eqnarray}$ Beide haben ungerade Exponenten. Für die Vorzeichenfrage reicht mir dann $\begin{eqnarray} (x-2)(x-3) >0 \end{eqnarray}$ Da kann ich nun mit der Fallunterscheidung dran gehen. $\begin{eqnarray} (-\infty, 2):~(x-2) < 0, (x-3) < 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2, 3):~(x-2) > 0, (x-3) < 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3, \infty):~(x-2) > 0, (x-3) > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \end{eqnarray}$ Klar?
14.10.2009, 15:26	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, wir bleiben bei IR. also soweit habe ich das verstanden. ( bedeutet doch dasselbe wie ], oder? also dass zB beim ersten Fall die - unendlich nicht zum intervall gehört, sondern die Grenze bildet?
14.10.2009, 15:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
]a,b[ = (a,b). a und b gehören nicht zum Intervall. Wenn IR alles ist, sind wir mit der Aufgabe fertig.
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14.10.2009, 15:51	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
sowas hatte ich fast schon befürchtet. Zu diesem Beispiel hatte ich auch bereits die Lösungen, da sie aus einem Mathebuch sind, wo teilweise Beispiele mit Lösungen angegeben sind. und laut dem Buch sind die Lösungen ]- unendlich, -1 [ und ]-1,2[ und ]3, unendlich [ jetzt bin ich etwas verwirrt^^
14.10.2009, 15:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso verwirrt. Ich habe die Endmenge nicht angegeben. Du musst nun meine Puzzlesteine auch noch zusammenfügen. Bei meiner letzten Fallunterscheidung habe ich ja die (-1) nicht ausgeschlossen. Das hatte ich vorher eben schon notiert. In Kombination kommst du auf die Buchlösung.
14.10.2009, 18:03	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
ja und das ist schon ein porblem für mich, wie kombiniere ich das?
14.10.2009, 19:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf welche Intervalle kommste denn allein?
15.10.2009, 09:45	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab ja schon bei folgendem ein verständnisproblem: die laut Buch angegenen Lösungen sind ja ]- unendlich, -1 [ und ]-1,2[ und ]3, unendlich [ die ungleichung war ja: (x+1)²(x-2)(x-3)³ >0 damit würde die erste klammer positiv, die zweite negativ bzw Null, und die dritte ebenfalls positiv oder null. wiegt man das gegeneinander auf wäre ja der fall möglich, dass links eine negative zahl oder null steht und rechts > 0, und die Aussage ist ja falsch. Denn etwas kleineres als NUll bzw. Null selbst sind nicht größer als Null^^ ich verzweifle echt daran...
15.10.2009, 15:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Wie ich sehe, hast du doch nicht verstanden, was ich geschrieben habe. Ich formuliere etwas salopp, damit es vielleicht eher klick macht. Stell es dir wie ein Casting vor. Gekommen sind alle reellen Zahlen. Ziel ist es diejenigen zu finden, für die gilt: $\begin{eqnarray} (x+1)²(x-2)(x-3)³ >0 \end{eqnarray}$ Das Jury Mitglied Dieter B. kennt sich aus persönlicher Erfahrung mit Nullen aus. Daher schmeißt er die Kandidaten $\begin{eqnarray} x=-1, x=2, x=3 \end{eqnarray}$ unsanft raus. Es verbleiben für den Recall $\begin{eqnarray} \mathbb R\setminus \{-1,2,3\} \end{eqnarray}$ Nun gilt für diese Kandidaten: $\begin{eqnarray} \underbrace{(x+1)²}_{> 0}(x-2)(x-3)³ >0 \end{eqnarray}$ Da die Jury langsam keinen Bock mehr auf den Casting Scheiß hat, versucht sie die Auswahlkriterien so einfach wie möglich zu machen, um schnell fertig zu werden. Sie stellen fest, dass es reicht, die verbleibenden Kandidaten auf: $\begin{eqnarray} (x-2)(x-3) >0 \end{eqnarray}$ zu testen. Die Kandidaten müssen sich der Größe nach aufstellen. Für sehr kleine Zahlen scheint die Ungleichung erfüllt zu sein. Wie groß darf die Zahl werden? Dieter verkündet: Alle, die noch da sind und kleiner als 2 sind, sind weiter. Finalgruppe 1. $\begin{eqnarray} ]-\infty, -1[~ \cup ~]-1,2[ \end{eqnarray}$ Unruhe und Nervosität macht sich breit. Ein unbekanntes Starlett schaut die restlichen Kandidaten scharf an und meint: Alle, die großer sind als 3 sind weiter. Der Rest ist raus. $\begin{eqnarray} ]3,\infty[ \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich insgesamt, die neue Band mit den Mitgliedern: $\begin{eqnarray} ]-\infty, -1[~ \cup ~]-1,2[ ~\cup ~]3,\infty[ \end{eqnarray}$
18.10.2009, 13:39	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke, das war auf jeden Fall viel anschaulicher. ich würd sagen, jetzt hab ich es für genau diese Aufgabe verstanden, aber für eine andere siehts schon wieder anders aus. Bei dieser Aufgabe ists ja klar, dass der Term links nicht 0 oder kleiner als 0 sein darf, denn dann wäre die aussage ja falsch. deswegen kann man ja alle Zahlen, für die 0 > 0 rauskommt, direkt rausschmeißen. aber wie siehts zB hier aus: $\begin{eqnarray} (x²-4)(x²-9)(x²+5)\leq0 \end{eqnarray}$ (x²+5) kann ja in keinem Fall kleiner oder gleich Null werden, also komm ich da ja so wie beim ersten Beispiel nicht weiter.
18.10.2009, 15:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kerle, schon wieder eine Gute-Nacht-Geschichte erzählen? Nö, heute mal malen nach Zahlen. Man macht sich einfach eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor. Also am besten mal ein Blatt Papier raus und 3 Zahlensträhle malen. Sowie 2 verschiedene Farben. Eine für "+" und eine für "-". $\begin{eqnarray} (x²-4)(x²-9)(x²+5)\leq0 \end{eqnarray}$ Nun jeden Faktor betrachten. Dafür muss man sich mit quadratischen Gleichungen auskennen. Eine mache ich vor. $\begin{eqnarray} f(x):=x^2-4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ]-\infty,-2[:~f(x) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [-2,2]:~f(x) \leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ]2,\infty[:~f(x) > 0 \end{eqnarray}$ Diese Intervalle malst du auf den Zahlenstrahl an. Genauso für die anderen Faktoren. Mit den Rechenregeln für Vorzeichen folgt dann auch die Lösung der Aufgabe. Also zeig mal was du kannst.
20.10.2009, 18:18	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber wie soll das für (x²+5) aussehen? ] - unendlich, -2,238... [ [- 2,238..., 2,238...] ] 2,238..., unendlich [ ??? denn Wurzel 5 ist ja 2,238 und so weiter ....
20.10.2009, 18:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Term wird im Reellen wohl nie Null werden.
21.10.2009, 23:08	DerMatheVerzweifler	Auf diesen Beitrag antworten »
okay.

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