Beweis: arithmetisches Mittel größer geometrisches

14.10.2009, 17:44

AlphaCentauri

Beweis: arithmetisches Mittel größer geometrisches

Hi,
ich hab folgendes Problem. Ich soll beweisen, dass für sämtliche nichtnegativen Zahlen gilt, dass das arithmetische Mittel nicht kleiner als das geometrische Mittel ist. Also etwas formalisierter heißt es dann:
Es seien a,b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , mit a > 0, b > 0. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b} \end{eqnarray*}$ .
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie ich das beweisen könnte. Mein erstes Gedanke war, dass ich beide Terme so umforme, dass ich nach einer bestimmten Zeit auf eine wahre Aussage komme und damit bewiesen hab, dass die Gleichung stimmt. Allerdings sagt mein Lehrer, dass dies zu logischen Fehlern führen kann und wir lieber auf der einen Seite anfagen sollen und das solange umformen müssen, bis wir den Term erhalten, der auf der anderen Seite steht. Dazu fällt mir allerdings nichts ein.
Vielleicht hat jemand von euch ne Idee?!
Schonmal vielen Dank im Voraus!

14.10.2009, 17:50

Bakatan

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Da alle Zahlen positiv sind: quadrier doch mal.

14.10.2009, 18:07

AlphaCentauri

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also wenn ich quadriere folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^{2}}{4} \geq a \cdot b \end{eqnarray*}$
dann formt man noch um:
$\begin{eqnarray*} (a+b)^{2} \geq 4 \cdot a \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2} +2 \cdot a \cdot b + b^{2} \geq 4 \cdot a \cdot b \end{eqnarray*}$
dann kommt man schließlich auf
$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} = 2 \cdot a \cdot b \end{eqnarray*}$

Das war ja jetzt kein Problem. Aber damit hab ich doch nicht die Ausgangsbehauptung bewiesen, oder überseh ich was?

14.10.2009, 18:08

Bakatan

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Wenn du jetzt noch die 2ab auf die andere Seite bringst kannst du Umformen und erhälst etwas, was dir gefallen sollte Augenzwinkern

14.10.2009, 18:45

AlphaCentauri

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Also die $\begin{eqnarray*} 2 \cdot a \cdot b \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite gebracht ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2} + b^{2}}{2 \cdot a \cdot b} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Aber es tut mir leid: ich erkenne nichts, was mir gefallen könnte! Augenzwinkern

Zerleg ich den Bruch beispielsweise in $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{2 \cdot a \cdot b} + \frac{b^2}{2 \cdot a \cdot \cdot b} \geq 1 \end{eqnarray*}$ könnte man jeweils das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wegkürzen und käme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2 \cdot b} + \frac{b}{2 \cdot a} \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Hauptnennerbildung ergibt dann: $\begin{eqnarray*} \frac{2(a^{2} + b^{2})}{4 \cdot a \cdot b} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2 \cdot a \cdot b}\geq 1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich das jetz noch umforme zu: $\begin{eqnarray*} \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a \cdot b \end{eqnarray*}$ sieht das zwar schon dem ähnlich, was ich beweisen soll. Aber leider halt nur ähnlich. Augenzwinkern

Könntest du mir bitte erklären wo ich hier den Denkfehler hab!

14.10.2009, 18:48

guest09

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Zitat:

Original von AlphaCentauri
dann kommt man schließlich auf
$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} = 2 \cdot a \cdot b \end{eqnarray*}$

viel einfacher Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

kommt dir das bekannt vor?

14.10.2009, 18:54

AlphaCentauri

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hab ich schonmal gesehn Augenzwinkern

also: $\begin{eqnarray*} a^{2} - 2ab + b^{2} = (a-b)^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Das wäre für positive a und b ja richtig, aber damit habe ich ja nicht die Ausgangsbehauptung bewiesen, oder?!

14.10.2009, 18:59

Bakatan

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Da $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R _+ \end{eqnarray*}$ ist quadrieren eine Äquivalenzumformung. Folglich hast du diesen Zusammenhang:
$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\Leftrightarrow (a-b)²\geq 0 \end{eqnarray*}$
gezeigt. Da letzteres stimmt, stimmt folglich auch ersteres.

14.10.2009, 19:05

AlphaCentauri

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Ah ok, dankeschön!

15.06.2015, 15:37

change_over

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Mathe
(a-b)^2 > 0 ist auch bei negativen Zahlen erfüllt. Darum auch nicht aussagekräftig.

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