Facharbeit zum Thema Unendlichkeit (Gliederung)

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Scully69 Auf diesen Beitrag antworten »
Facharbeit zum Thema Unendlichkeit (Gliederung)
Hallo,
bin auf dem Weg zum Abi (K13) und schreibe meine Facharbeit über die Unendlichkeit geschockt
Wie soll ich sagen.. das Thema ist ja ziemlich.. groß Big Laugh
Ich hab hier mal eine Gliederung erstellt,wenn ihr mal einen Blick drauf werfen könntet und evtl noch Themenvorschläge(meint ihr das reicht?) oder Kapazitätsfazit(unter 20S. sollte die FA sein) abgebt würde ich mir drüber freuen!
1.Einleitung
2.Der Schritt ins Unendliche
2.1.Beweis der Unendlichkeit natürlicher Zahlen anhand der Vollständigen Induktion
a)Herleitung des Verfahrens
b)Methode der Induktion
c)häufige Fehler

2.2.Die liegende Acht: Unendlichkeit
a)Bedeutung und Symbolik
b)Übersicht der Operationen mit

2.3.Wer früher stirbt ist länger tot-Paradoxa der Unendlichkeit
a)Definition „Paradox“
b)“ Leben und Meinungen des Tristram Shandy“
c)Mandelbrotfiguren
d)Russells Paradox

2.4.Eine Frage, „die nicht viel Mühe verdient“(Cantor)
a)Biographisches zu Georg Cantor
b)Mengenlehre Cantors


3.Schluss


DANKE!!
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

MIt den von dir genannten Themen hat man schon genug Stoff zusammen, um den Umfang der Arbeit einzuhalten.
Da es aber eine Facharbeit in Mathematik ist, würde ich vielleicht überlegen noch ein weiteres mathematisches Thema hinzuzunehmen. Zum Beispiel die verschiedenen Unendlichkeiten, die durch die Mächtigkeit von Zahlenmengen repräsentiert werden.
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist doch "Hilberts Hotel" eines der beliebtesten Themen zur Unendlichkeit, vllt. sollte man das (im Zuge zu Zizou66 Vorschlag) bringen?
Das Cantorsche Diagonalargument ist dazu ja dann den Zugang - ich gehe mal davon aus, das wolltest du im letzten Abschnitt bringen?

Wenn die Facharbeit nicht fächerübergreifend werden soll, sollte man sich eventuell überlegen, inwiefern dein Abschnitt über "die liegende Acht" nicht eher in die Einleitung gehört?

Gruß
MI
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MI
Eigentlich ist doch "Hilberts Hotel" eines der beliebtesten Themen zur Unendlichkeit, vllt. sollte man das (im Zuge zu Zizou66 Vorschlag) bringen?
Das Cantorsche Diagonalargument ist dazu ja dann den Zugang - ich gehe mal davon aus, das wolltest du im letzten Abschnitt bringen?


Eine super Idee! Das kann man dann echt schön darstellen und erklären. Soweit hatte ich gar nicht gedacht smile
Scully69 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Vorschläge!
Ein bisschen Fächerübergreifend darf das gute Stück schon sein smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
2.1.Beweis der Unendlichkeit natürlicher Zahlen anhand der Vollständigen Induktion


Was genau willst du da beweisen verwirrt

Zitat:
b)Übersicht der Operationen mit


Dazu könntest du auch was sagen. Rechnen mit Unendlichkeiten?
Kann ganz schnell schief gehen. Augenzwinkern

air
 
 
Scully69 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die natürlichen Zahlen nicht begrenzt sind,ich quasi unendlich viele hab.
Vor dem Induktionsverfahren hab ich noch Peano-Axiome kurz erläutert,da Induktion meiner Kenntniss nach auf einem Axiom beruht.

Beim Operieren hab ich die definierten Rechenregeln (eig. zu finden in Wiki : / ) abgetippt,da diese sich von alleine erklären..mehr ist das nicht Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie willst du beweisen, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt? Mit Induktion sicher nicht.

Genaugenommen ist das nach Peano-Axiomen trivial. Aber mit Induktion beweisen funktioniert sicher nicht.

air
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar keine Induktion, aber es gibt einen schönen Beweis dafür der ausnutzt, dass N induktiv ist. Allerdings braucht man dafür Vorwissen über Supremum und R als vollständig, angeordnetem Körper, weiß nicht ob das etwas über das Ziel der Facharbeit hinausgeht.

Was du vllt. noch als Thema aufgreifen könntest sind abzählbare, unendlich abzählbare und überabzählbare Mengen. R ist zum Beispiel "mehr unendlich" als N, da könnte man auch eventuell auch noch was drüber schreiben wenn das deinen Rahmen von 20 Seiten nicht sprengt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, der Beweis, dass die Peanoalgebra unendlich ist, folgt tatsächlich, wie Airblader richtig sagt, in einfachster Weise direkt aus den Peanoaxiomen...

Wäre sie nämlich endlich, so würden dann in der Folge



notwendigerweise Elemente mehrfach auftreten, man könnte also nichtnegative ganze Zahlen i,j finden, sodass



ist... Nun kann man aufgrund der Injektivität von durch , das ja dann auch injektiv ist, gewissermaßen "kürzen", und erhält



d.h., 0 wäre Nachfolger einer natürlichen Zahl, Widerspruch...
Scully69 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für mich ist rein gar nichts trivial und bedarf Recherche.
Ich habe einfach 4 Peano-Axiome aufgezählt und ihre Bedeutung kurz erläutert..
Laut meinem Buch hier beweist Induktion,dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat.. >>> n -> n+1 >> unendlich viele natürliche Zahlen


Werde mich mal in Ioreks Idee einlesen.Mir kam die Idee zwar auch schon, kann aber nicht einschätzen wie "intensiv" das Ganze ist.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Eine simplere Alternative zu Mystics Weg, so dass man den Begriff der Algebren nicht benötigt:

Gäbe es nur endlich viele n in IN, dann existiert auch (aus endlich vielen kann ich stets ein Maximum wählen).
Insbesondere ist , aber dann müsste nach Axiom auch sein - und das ist ein Widerspruch zur Annahme, sei das maximale Element.
Daraus folgt, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Zu deinem Buch:
So, wie es dasteht, ist es kein Beweis, sondern einfach nur das Axiom (und Axiome sind nicht ableitbar). Das ist aber auch keine klassische vollständige Induktion.
Eine VI geht hier aber auch schief, denn ich kann nicht die Unendlichkeit von IN nutzen, um die Unendlichkeit von IN zu zeigen.

Die Idee mit Mächtigkeiten und (Über-)Abzählbarkeit finde ich auch gut, das kann man sicher einbauen. Es ist v.a. etwas Spannendes, da es dem Verstand vieler widerspricht und lässt sich mit anschaulichen Argumenten gut zeigen.

air
Scully69 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah so langsam verstehe ich das Problem ..
Kann ich dem vielleicht entgehen wenn ich das nicht Beweis nenne sondern Erklärungsversuch ?
Das Dumme ist, ich hab Topic 2.1 und 2.2 schon komplett fertig..so schnell kann ich momentan nichts neues basteln,da ich noch massig zutun hab unglücklich
btw habe ich sogar in der Facharbeit erwähnt, dass die VI nur theoretisch -aufgrund der Unendlichkeit- durchführbar ist..

Die Mächtigkeit wird mir zusehens sympathischer, ich denke ich verknüpfe das mit russell-paradox oder schmeiß jenes eben raus.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Eine simplere Alternative zu Mystics Weg, so dass man den Begriff der Algebren nicht benötigt:[...]
air


Hm, ob das "simpler" ist, wie du sagst, darüber kann man sehr geteilter Meinung sein.. verwirrt

Zunächst einmal verwende ich auch keinerlei Tatsachen über Algebren, das ist hier eine reine Sprechweise... Auch wenn du den Begriff der Algebra vermeidest, ist es doch so, dass auf der Menge der natürlichen Zahlen eine nulläre Operation und eine unäre Operation definiert sind und jemanden, dem diese Sichtweise vertraut ist, bringt das auch tatsächlich etwas... Z.B. würde der beim Induktionsaxiiom denken: Aha, man fordert also hier, dass die Peanoalgebra keine eigentlichen, d.h., von ihr verschiedenen, Unteralgebren besitzt...

Dann verwendest du viele Tatsachen, die über die Peanoaxiome hinausgehen ohne jeden Beweis, z.B., dass eine endliche Menge von natürlichen Zahlen stets ein Maximum besitzt... Ferner ist bei dir auch schon eine Addition von natürlichen Zahlen und die Relation < im Spiel, was man ja alles zuerst einmal einführen muss... Wenn man das alles Zug um Zug dazunimmt, würde man aber merken: Hoppla, der Beweis wird ja immer länger...

Was meinen eigenen Beweis betrifft, so verwende ich nur, dass



was man mit Induktion beweisen kann... Wenn man das nicht umgehen kann, so wäre damit der Nachweis erbracht, dass man hier tatsächlich alle Peanoaxiome benötigt...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mystic

Mag sein, dass ich gewisse Dinge verwende - aber Dinge, die für einen Schüler in meinen Augen angemessener sind. Es geht hier nicht darum, wie an der Uni alles vorher hergeleitet zu haben, sondern das Thema ist "Unendlichkeiten" - und dass eine endliche Menge ein Maximum hat ist ja nun wirklich nichts "Außergewöhnliches".

Ich bezweifle einfach, dass der Autor mit dem Begriff Algebra bzw. der Sigma-Schreibweise und Dingen wie Injektivität irgendetwas anfangen konnte; das war in meinen Augen unnötig "überkorrekt" - wir haben es immernoch mit einem Schüler zu tun, keinem Studenten.

Aber wie gesagt, man kann da geteilter Auffassung sein.

air
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Scully69
Ich habe einfach 4 Peano-Axiome aufgezählt und ihre Bedeutung kurz erläutert..


Wieso 4? Ich dachte, es seien 5? verwirrt

Zitat:
Original von Scully69
Laut meinem Buch hier beweist Induktion,dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat.. >>> n -> n+1 >> unendlich viele natürliche Zahlen


Diesen Satz versteh ich überhaupt nicht... Es ist doch gerade eines der Axiome, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, wozu muss man da etwas beweisen... Ich denke, du meintest, dass jede natürliche Zahl Nachfolger ist mit Ausnahme der 0, die wiederum nach einem anderen Axiom nicht Nachfolger ist...

Zitat:
Original von Scully69
Also für mich ist rein gar nichts trivial und bedarf Recherche.


Stimmt genau, ich selbst könnte es nicht besser zusammenfassen... Big Laugh

@Airblader

Wenn ich oben von der "Peanoalgebra" sprach, so wollte ich damit nur "meine" Bezeichnungen einführen, also die 0 ist bei mir das erste Element (speziell in der älteren Literatur begint man ja auch oft erst bei 1 !) und (statt n' oder etc.) ist der Nachfolger von n... Wenn ich hier für den Nachfolger schreibe, so nicht aus "Jux und Tollerei", sondern das hat speziell den Grund, dass ich k-malige Anwendung der Nachfolgeroperation auf n sehr einfach dann mit bezeichnen kann, was ja in meinem Beweis oft vorkommt...

Apropos mein Beweis: Da würde ich jetzt so argumenteiren, dass es im Falle der Endlichkeit von dann ein kleinstes i gäbe, sodass gilt



Dann ist entweder j=0 und erhalte einen Widerspruch dazu, dass 0 nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl ist, oder ich kann für j>0 wegen der Injektivität vonn durch "kürzen" und erhalten einen Widerspruch zur Minimaltät von i...

Ich denke, einfacher gehts nicht mehr... Wie mir scheint, braucht man aber auch hier wieder versteckt das Induktionsaxiom um beweisen zu können, dass es so ein minimales i überhaupt gibt...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mystic

An deinem Beweis hatte ich doch gar nichts auszusetzen. Augenzwinkern
Ich wollte lediglich eine Variante geben, bei der ich vielleicht Dinge benutze, die nicht direkt eingeführt sind, die aber intuitiv verständlich sind - um im Gegenzug auf (vermutlich) unbekannte Begriffe wie Injektivität zu verzichten.

Letztlich sollte es eben auch nur eine Alternative sein, keine "Konkurrenz". Augenzwinkern

air
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe inzwischen mit einem Experten auf diesem Gebiet gesprochen und da ist mir erst so richtig klar geworden, dass ich die ganze Zeit bildlich gesprochen im Kreis gegangen bin...Die Frage, ob sich die Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen aus den Peanoaxiomen beweisen läßt und welche der Axiome man gegebenenfalls dafür braucht, ist eigentlich total sinnlos, da man den Begriff "unendlich" innerhalb dieses Axiomensystems nicht in sinnvoller Weise definieren kann...
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