Beweis Geometrie Punkte auf Geraden

14.10.2009, 22:59	janicemorgan	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Geometrie Punkte auf Geraden Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen: Zeigen Sie: Die n Punkte a1, . . . , an aus R^2 liegen genau dann auf einer Geraden, wenn Rang $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & ... & 1 \\ a_1 & ... & a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ <=2 gilt. Meine erste Frage: Was ist das für eine Matriz, in der die Einsen und die Punkte stehen? danke
15.10.2009, 14:21	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Geometrie Punkte auf Geraden Beispiel: $\begin{eqnarray} a_1=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3=\begin{pmatrix}9\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_4=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann sieht die Matrix so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&5&9&4\\3&7&1&4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
15.10.2009, 16:24	janicemorgan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Geometrie Punkte auf Geraden ok... haben die einsen auch eine Bedeutung oder ist das jetzt einfach irgendeine Matrix, die unser Prof sich ausgedacht hat - das hatte mich nämlich irgendwie verwirrt? zu deinem Beispiel: die Punkte liegen nicht auf einer Geraden und der Rang ist 3. ...also nochmal an einem Beispiel, wenn die Punkte auf einer geraden liegen: $\begin{eqnarray} <br /> a_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> a_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> a_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das wären doch Punkte auf einer Geraden. Die Matrix sähe dann so aus: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Um den Rang zu bestimmen schau ich mir doch die Anzahl linear unabhängiger Spalten an. Die Beispielmatrix hat doch den Rang 2. Bestätigt also die Behauptung... Im allgemeinen gilt doch: Der R^2 hat 2 Basisvektoren. Wenn Punkte auf einer Geraden liegen ist jeder Punkt Linearkombination von 2 anderen Punkten auf der Geraden, oder? Hab ich eine Geradengleichung durch $\begin{eqnarray} <br /> g= a_1 + t(a_2 - a_1) <br /> \end{eqnarray}$ ? Deshalb sind dann in der Matrix, wenn man nach linear unabhängigen Spalten sucht, außer einer oder 2 Spalten alles 0-Spalten?

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