vollständige Induktion

15.10.2009, 10:32

DerMatheVerzweifler

vollständige Induktion

vollständige Induktion:

Zeigen sie mit vollständiger Induktion für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~k2^k-1 \end{eqnarray*}$ = (n-1)2^n

Mein Ansatz:

Induktionsanfang n = 1

Induktionsvoraussetzung n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2

Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+2}~k2^{k-1} \end{eqnarray*}$ =(2-1)2^2

ist davon irgendwas richtig und falls ja, wie gehts weiter?
da hörts bei mir nämlich schon auf ...

Gruß

15.10.2009, 12:47

Zizou66

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Wenn die Aussage nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gültig ist, kannst du den Induktionsanfang nicht für n=1 wählen.
Außerdem solltest du dann für alle n diesen Wert einsetzen. Diesmal hast du das überdem Summenzeichen vergessen.

18.10.2009, 13:02

DerMatheVerzweifler

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also wäre

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2+2}~k2^{k-1}=(2-1)2² \end{eqnarray*}$

richtig?

19.10.2009, 09:26

klarsoweit

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Nein. Es reicht, wenn du für n eine 2 einsetzst und nicht "2+2". Augenzwinkern

Zitat:

Original von DerMatheVerzweifler
Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+2}~k2^{k-1} \end{eqnarray*}$ =(2-1)2^2

Das ist weder ein Induktionsanfang noch ein Induktionsschritt. Am besten schreibst du erstmal auf, was im Induktionsschritt zu zeigen ist.

19.10.2009, 17:28

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Um dir vielleicht etwas besser zu helfen und nen anstoss zu geben:

Hier mal ein typisches Induktionsschema anhand deines Beispiels:

Behauptung, Annahme: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~k\cdot 2^{k-1}=(n-1)\cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Induktionsbasis (Zeigen, dass Probe für, in deinem beispiel "2" (verstehst du warum?) gilt: )

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(n)\rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

Es gelte A(n).

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}k\cdot 2^{k-1}=\sum_{k=2}^{n}k\cdot 2^{k-1}+... \end{eqnarray*}$

Denke jetzt hast du ein festes Richtschema zum Lösen der Aufgabe.

Um dir aber nicht alles Lösen abzunehmen musst du die Lücken schon selbst füllen!

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