Zeige, dass gilt?

15.10.2009, 15:39

bandchef

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Zeige, dass gilt?

Hi Leute!

Ich soll zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt schon mal soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} 2cos^{2}(\frac{\alpha}{2})=1+cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt aber weiter?

danke, bandchef

15.10.2009, 15:46

Quizzmaster42

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Wir wärs mit durch zwei teilen und die Quadratwurzel ziehen?

15.10.2009, 15:50

bandchef

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wenn ich das mache, dann hab ich einfach nur "zurück gerechnet"

15.10.2009, 16:01

Quizzmaster42

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Achso... ich dachte du wärst von der "anderen Seite" dahin gekommen...

Das is doch ein Additionstheorem, oder? Theoretisch könntest du es, wenn das als (Haus-)Aufgabe gestellt wird, als "bewiesen" hinnehmen smile

smile

15.10.2009, 16:06

bandchef

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Ich wills mir aber nicht so einfach machen
...

15.10.2009, 16:13

Schmonk

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Hallo!

Es wäre hilfreich, wenn ich wüsste, was du als gegeben annehmen darfst. Was du zeigen sollst ist kein Additionstheorem, aber lässt sich daraus herleiten.

$\begin{eqnarray*} \mbox{cos}(x+y)=\mbox{cos}(x)\mbox{cos}(y)-\mbox{sin}(x)\mbox{sin}(y) \end{eqnarray*}$

hiervon ausgehend (ggf. beweisen) kannst du leicht

$\begin{eqnarray*} \mbox{cos}(\alpha)=\mbox{cos}^2\left(\frac\alpha 2\right)-\mbox{sin}^2\left(\frac\alpha 2\right) \end{eqnarray*}$
zeigen und daraus ergibt sich dann deine gesuchte Identität.

Grüße!

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15.10.2009, 16:51

bandchef

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Gegeben hab ich:

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} \end{eqnarray*}$

soweit bin ich:

$\begin{eqnarray*} 2cos^{2}(\frac{\alpha}{2})=1+cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Wie gehts weiter, Damit ich die Fragestellung "zeige, dass gilt" erfüllen kann?

15.10.2009, 17:13

Quizzmaster42

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Zeigen bedeutet nichts anderes als beweisen. Um das zu zeigen/beweisen, musst du die Formel aus einer dir bekannten (und bewiesenen) Formel herleiten. So eine Formel hat Schmonk angegeben. Das zusammen mit dem trigonometrischen Pythagoras ist auch schon die halbe Lösung.

15.10.2009, 17:30

bandchef

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sorry, aber das hab ich jetzt nicht verstanden. den trig. pythagoras kenn ich. aber mit weiß soll ich den jetzt gleichsetzen damit ich zum schluss das gegebene dastehen hab?

15.10.2009, 17:39

bandchef

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In meiner Formelsammlung steht unter dem Punkt "Funktionen des doppelten und halben Winkels" eine (wahrscheinlich bewiesene Formel), nämlich genau das, was ich schon hergeleitet habe und zwar:

$\begin{eqnarray*} cos^{2}(\frac{\alpha}{2})=0,5(1+cos(\alpha)) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt als die bewiese Formel annehme und diese dann auf meinen gegeben Term, also

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}} \end{eqnarray*}$

den hier zurückführe, dann hätt ich's doch bewiesen, oder?

danke, bandchef

15.10.2009, 17:41

Quizzmaster42

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ich bin von schmonks formel ausgegangen. du hast da cos, cos^2 und sin^2 stehen. In der fertigen Gleichung steht aber nur noch cos und cos^2. also würde ich an deiner stelle versuchen, das sin^2 "umzuwandeln".

diese formel aus deinem tafelwerk ist die formel, die du zu beweisen versuchst. der eine umformungsschritt mit der wurzel ist quasi trivial Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2009, 17:52

bandchef

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warum hat schmonk in den argumenten der funktionen x und y stehen?

das verstehe ich auch nicht

15.10.2009, 18:01

Quizzmaster42

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Der hätte da auch Häuschen und Bäumchen hinschreiben können! x und y stehen in der Gleichung für alle möglichen (reellen) Zahlen. Was er da stehen hat, ist eine bewiesene Tatsache. In seiner zweiten Gleichung hat er einfach für x und y alpha/2 eingesetzt.

15.10.2009, 18:04

bandchef

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Ich muss quasi in dieser Formel

$\begin{eqnarray*} \mbox{cos}(\alpha)=\mbox{cos}^2\left(\frac\alpha 2\right)-\mbox{sin}^2\left(\frac\alpha 2\right) \end{eqnarray*}$

den sin versuchen durch etwas anderes auszudrücken und dann einfach umformen, damit am ende dann meine geforderter bezug dasteht?

mit was muss ich den sin ausdrücken?

15.10.2009, 18:07

Quizzmaster42

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genau das musst du machen. wie wärs mit dem trigon. Pythagoras?

15.10.2009, 18:09

riwe

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Zitat:

Original von bandchef
Ich muss quasi in dieser Formel

$\begin{eqnarray*} \mbox{cos}(\alpha)=\mbox{cos}^2\left(\frac\alpha 2\right)-\mbox{sin}^2\left(\frac\alpha 2\right) \end{eqnarray*}$

den sin versuchen durch etwas anderes auszudrücken und dann einfach umformen, damit am ende dann meine geforderter bezug dasteht?

mit was muss ich den sin ausdrücken?

$\begin{eqnarray*} \mbox{cos}(\alpha)=\mbox{cos}^2\left(\frac\alpha 2\right)-(1-\mbox{cos}^2\left(\frac\alpha 2\right)) \end{eqnarray*}$ smile

smile

15.10.2009, 18:11

bandchef

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wenn ich den trig. pyt. dann so umgeformt hab, was muss ich dann ins argument reinschreiben? in meiner formelsammlung steht da nur einfacher "winkel" drin...

15.10.2009, 18:25

bandchef

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danke, jetzt hab ich's geschafft und geschnallt...
trig. pyt. ist anscheinend ein sehr wichtiges instrument in der mathematik...

danke, bandchef

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