Lösung einer Gleichung

15.10.2009, 16:06

bandchef

Lösung einer Gleichung

Hi Leute!

ich hab folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 2cos^{2}(x)+sin(x)-1=0 \end{eqnarray*}$

Wie löse ich diese Gleichung?

danke, bandchef

15.10.2009, 16:14

tigerbine

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RE: Lösung einer Gleichung
Würde es mal mit dem trignometrischen Pythagoras und dem Lösen einer quadratischen Gleichung versuchen.

15.10.2009, 16:23

bandchef

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jetzt hab ich für u1=-1 und für u2=-0,5...

wie geht jetzt die resubstitution?

danke, bandchef

15.10.2009, 16:27

baphomet

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RE: Lösung einer Gleichung
Ich schliße mich meinem Vorgänger an, als erstes nutzt du den trigonometrischen Pythagoras damit insgesamt alles nur noch von einer Funktion abhängig ist und danach subtistierst du und rechnest die Lösungen aus.

$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x)+\sin(x)-1=0 2(1-\sin^2(x))+\sin(x)-1=0 \sin^2(x)-\frac{\sin(x)}{2}-\frac{1}{2}=0 x=\sin(x) 0=x^2-\frac{x}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt p-q Formel oder wie auch immer und am Ende rücksubstituieren, das heißt Umkehrfunktion nutzen, alos den Arcussinus erreichst du mit Shift oder ähnlichem auf deinem TR.
Du mußt auf deine jetzt ausgerechneten Ergebnisse den Arcussinus anwenden, denn dir ist ja bestimmt bekannt

$\begin{eqnarray*} sin(\arcsin(x))=x oder umgekehrt \arcsin(\sin(x))=x \end{eqnarray*}$

15.10.2009, 16:30

bandchef

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ja soweit bin ich schon.

aber die resub. haut nicht hin. ich hab jetzt: -1=sin(x) -> x1=-90

ich hab jetzt zwei u1 und u2 aber auch (sin(x))^2 und (sin(x). heißt das, ich muss in beide trigonometrische funktionen jetzt u1 und u2 mit dem arcsin ausrechnen?

danke, bandchef

15.10.2009, 16:37

bandchef

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da ist doch ein rechenfehler in deiner obigen ausführlichen rechnung oder?

15.10.2009, 16:37

tigerbine

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@ baphomet
bandchef hatte das doch schon gemacht. Warum wiederholst du wieder nur, was schon gesagt wurde? Lass das bitte.

@ bandchef.
Aber mit einem RF. 1 und -0.5 kommen raus.

$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x)+\sin(x)-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x) -2 +\sin(x)+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(\cos^2(x) -1) +\sin(x)+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\sin^2(x) +\sin(x)+1=0 \end{eqnarray*}$

Und der TR ist für die Umkehrung wohl nur dann geeignet, wenn er auch mehrere Lösungen anbietet. Der Sinus ist nicht bijektiv auf seiner Periodenlänge.

Ein Bild hilft dir die Situation zu verdeutlichen. Wie lauten also die Urbilder? Und wie lautet dort der Cosinus?

15.10.2009, 16:39

baphomet

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Erstmal möchte ich wissen ob du aif die gleiche quadratische Gleichung kommst wie ich, wenn nicht dann schreib deine Lösung nieder.

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1}{4}\pm\sqrt[]{\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Die endgültigen Lösungen lauten dann.

$\begin{eqnarray*} x_1=\arcsin(x_1) x_2=\arcsin(x_2) \end{eqnarray*}$

15.10.2009, 16:40

bandchef

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so.

ich hab jetzt die lösungen u1=1 und u2=-0,5.

was muss ich jetzt tun? an der resub haperts...

15.10.2009, 16:42

tigerbine

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Siehe mein Bild. Das ist eine Periode. Da musst du Fallunterscheidungen machen.

15.10.2009, 16:44

baphomet

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LÖsungen sind

$\begin{eqnarray*} \arcsin(u_1) und \arcsin(u_2) \arcsin(1)=\frac{\pi}{2}\pm 2 \pi und \arcsin(-0,5)=-\frac{\pi}{6}\pm 2 \pi \end{eqnarray*}$

15.10.2009, 16:46

bandchef

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ich hab jetzt mein

x1=arcsin(u1) -> x1=90°

und

x2=arcsin(u2) -> x2=-30°

stimmts so?

15.10.2009, 16:56

tigerbine

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Reparting myself.
$\begin{eqnarray*} 2\cos^2(x)+\sin(x)-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\sin^2(x) +\sin(x)+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=-0.5 \end{eqnarray*}$

Und der TR ist für die Umkehrung wohl nur dann geeignet, wenn er auch mehrere Lösungen anbietet. Der Sinus ist nicht bijektiv auf seiner Periodenlänge.

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=1 \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{2} = 90° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=-0.5 \Rightarrow x_2 = \frac{7\pi}{12} = 210°,~x_3= \frac{11\pi}{12} =330° \end{eqnarray*}$

Probe machen.

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x_1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x_2)=0.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x_3)=0.75 \end{eqnarray*}$

16.10.2009, 10:55

bandchef

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die lösungen von baphomet und tigerbine sind nicht identisch...

was ist denn jetzt richtig? auf die lösungen von baphomet bin ich auch gekommen

danke, bandchef

16.10.2009, 11:44

Gualtiero

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Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1}{4}\pm\sqrt[]{\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Da ist der Wurm drin, das Minus unter der Wurzel sollte ein Plus sein. Nach Richtigstellung kommst Du auf die Ergebnisse von tigerbine.

Denn nach der Substitution $\begin{eqnarray*} x=sin\,(x) \end{eqnarray*}$ lautet die quadratische Gleichung ja

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{1}{2}\cdot x -\frac{1}{2}=0 \end{eqnarray*}$

16.10.2009, 12:47

Kanuflieger

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Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1}{4}\pm\sqrt[]{\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Muss es nicht

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x_{1/4}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1^2}{4}-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

sein?

16.10.2009, 14:23

Gualtiero

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@Kanuflieger
Nö.
p = - (1/2) ==> - (p/2) = 1/4
q = - (1/2)

Und wie die p/q-Formel lautet, hast Du in jeder Formelsammlung oder in Deinem Mathebuch.

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