Lösbarkeit von (x^2 - my^2 = kp)

15.10.2009, 19:34

dum

Lösbarkeit von (x^2 - m*y^2 = k*p)

Problem:
Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine ungerade Primzahl und $\begin{eqnarray*} k, m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} p, km \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Zeige: Falls die diophantische Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 - m\cdot y^2 = k\cdot p \end{eqnarray*}$ eine Lösung hat, dann ist das Legendre-Symbol $\begin{eqnarray*} \left( \frac{m}{p} \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Idee war, die Gleichung mod p zu nehmen, so dass folgen würde:
$\begin{eqnarray*} x^2 - m\cdot y^2 \equiv 0 \; (\text{mod } p)\Rightarrow x^2 \equiv m\cdot y^2 \; (\text{mod } p) \Rightarrow \left(\frac{m\cdot y^2}{p}\right) = 1 \Rightarrow \left(\frac{m}{p}\right)\cdot \left(\frac{y}{p}\right)^2 = 1 \Rightarrow \left(\frac{m}{p}\right) = 1 \text{ da } \left(\frac{y}{p}\right)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Aber das versagt irgendwie daran, dass p Teiler von y (und damit $\begin{eqnarray*} \left(\frac{y}{p}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ ) sein könnte.

16.10.2009, 07:28

Mystic

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p kann y nicht teilen, weil es dann auch x teilen würde, d.h. die ganze linke Seite der Gleichung wäre dann durch $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ teilbar, nach Küzen wäre daher auch k durch p teilbar...

16.10.2009, 13:08

dum

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Ja klar, jetzt wo du's sagst.

Aber es stimmt trotzdem so nicht, oder. Ich sehe nicht, wie ich die Voraussetzung "p, km teilerfremd" einsetzen könnte.

Hilfe

16.10.2009, 14:24

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Herrje! Wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} km \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar, was ein klarer Verstoß zur Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} km \end{eqnarray*}$ ist.

16.10.2009, 14:37

dum

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Herrje! Wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} km \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar, was ein klarer Verstoß zur Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} km \end{eqnarray*}$ ist.

Das nimmt jetzt aber nicht auf die eigentliche Aufgabenstellung Bezug, sondern nur auf mein (bereits geklärtes) Missverständnis mit p | y.

16.10.2009, 14:40

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Aber das war doch die einzige Frage, die noch offen war - oder was denn sonst noch? verwirrt

16.10.2009, 14:43

dum

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Ob mein Beweis, wie ich ihn im ersten Post geschrieben habe, richtig war. (Entgegen meiner Annahme, dass er falsch sei, gegründet auf dem Denkfehler, dass p y teilen könnte.)

Und wenn er denn richtig ist, sehe ich immer noch nicht, wozu man die Voraussetzung (p, km) teilerfremd braucht.

16.10.2009, 14:48

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Zitat:

Original von dum
Und wenn er denn richtig ist, sehe ich immer noch nicht, wozu man die Voraussetzung (p, km) teilerfremd braucht.

Na eben für den Ausschluss der Möglichkeit, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist! Mir kommt es so vor, als hast du die letzten Beiträge gar nicht gelesen.

16.10.2009, 15:29

dum

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Gut, nun hat es auch der dumme dum verstanden. Danke, danke, und ich gelobe, nächstes Mal länger darüber zu meditieren, bevor ich weiterfrage.

16.10.2009, 16:07

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Ja, das ist wahrscheinlich eine Mentalitätsfrage: Ich denke immer gern etwas länger nach, bevor ich nachfrage oder antworte - hat mir früher in meiner Schulzeit öfter den Vorwurf "schlechter Mitarbeit" gebracht - und wahrscheinlich erwarte ich das unbewusst auch von anderen. Augenzwinkern

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