Irrationale n-te Potenzen einer irrationalen Zahl? |
| 15.10.2009, 21:59 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Irrationale n-te Potenzen einer irrationalen Zahl? Ich stelle mir gerade die Frage, ob es unter den irrationalen Zahlen solche gibt, deren n-te Potenzen ebenfalls alle irrational sind und wie man das sinnvollerweise beweisen könnte? Ich denke da z.B. an die quadratisch irrationalen Zahlen mit und sowie c > 0 und quadratfrei. Wenn man eine solche Zahl quadriert, kann man zeigen, daß die neue Zahl sich wieder in die Form einer quadratisch irrationalen Zahl bringen lässt, d.h. selbst wieder irrational sein muß, unabhängig von den Zahlen a, b, c und d. Ich habe es noch nicht nachgerechnet, aber vermutlich gilt das nicht immer...man müsste vermutlich die allgemeinen Formeln für ansetzen und dann erneut versuchen die entstehenden Terme und Binomialkoeffizienten in Grüppchen zu fassen? Wie ist das mit , mit a algebraisch, die ja auch immer irrational sind (sogar transzendent) und Potenzen davon? Gibt es außerdem noch aussichtsreiche Kandidaten, bei denen das für jede Potenz funktionieren könnte? Ist das schon ein ausreichender Beweis, wenn ich zeigen kann, daß die n-te Potenz einer irrationalen Zahl formal der Ursprungsform entspricht und daher, wie bei den quadratisch irrationalen Zahlen die quadrierte Form, selbst wieder eine quadratisch irrationale Zahl ist? |
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| 15.10.2009, 22:02 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Alle transzendenten Zahlen haben diese Eigenschaft! Das sollte dir eigentlich klar sein, wenn du ihre Definition kennst. |
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| 16.10.2009, 03:26 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm...muß ich mal drüber nachdenken...Danke! Andererseits: Gibt es außer einigen Klassen wie , a algebraisch, nicht so schrecklich viele unterschiedliche Beispiele für Zahlen, deren Transzendenz bewiesen wurde, oder? Kann man es für Zahlen, die "bloß" irrational sind, nicht auch in Spezialfällen nachweisen, oder impliziert das eine immer das andere? |
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| 16.10.2009, 03:47 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Man könnte sonst die n-te Wurzel ziehen und käme zu einem Widerspruch die Transzendenz der Ausgangszahl betreffend... |
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