Multinominalformel beweisen

16.10.2009, 07:55	akasharishi	Auf diesen Beitrag antworten »
Multinominalformel beweisen Beweisen Sie für $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ , mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes , die Multinomialformel $\begin{eqnarray} (a+b+c)^n =\sum(\frac{n!a^ib^jc^k}{i!j!k!})\qquad i,j,k\in N\quad i+j+k=n \end{eqnarray}$ Hallo! Ich habe einen Induktionsbeweis versucht und für n=0 habe ich die Behauptung auch verifizieren können. $\begin{eqnarray} (a+b+c)^{n+1}=(a+b+c)^n(a+b+c)=\sum(\frac{n!a^ib^jc^k}{i!j!k!})(a+b+c) \end{eqnarray}$ Auch ausmultipliziert habe ich das schon...Nur ist mir die Summenschreibweise wo drunter einige Bedingungen stehen, aber nicht explizit von a nach b summiert wird irgendwie ungewohnt. Kann man das nicht umschreiben? Wie soll ich hier den binomischen Lehrsatz verwenden wenn immer j+k+i=n und nicht j+i=n steht?Da würde ich ihn ja nur für k=0 verwenden können. Insgesamt lautet also meine Frage: Wie forme ich auf die gewünschte Form um bzw. ist der Induktionsbeweis überhaupt sinnvoll? Vielen Dank! Rishi
16.10.2009, 08:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde wahrscheinlich 2mal den normalen Binomialsatz auf ((a+b)+c)^n benutzen. Die Summenbedingung fällt dann auch sofort vom Himmel i+j+k=n ist einfach rekursiv zu verstehen. Lasse i=0...n laufen und dann hast du mit j+k=n-i eine Bedingung die du schon kennst.
16.10.2009, 09:21	akasharishi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das mit dem 2mal anwenden vom binomischen Lehrsatz war ja eine super Idee! Ich habs jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray} ((a+b)+c)^n=\sum_{k=0}^n~\frac{n!}{(n-k)!k!}(a+b)^kc^{n-k}=\sum_{k=0}^n~\frac{n!}{(n-k)!k!}c^{n-k}\sum_{i=0}^k~\frac{k!}{(i!(k-i)!}a^ib^{k-i}=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^k~\frac{n!c^{n-k}a^ib^{k-i}}{(n-k)!i!(k-i)!} \end{eqnarray}$ Nun sieht man ja(oder muss ich das noch beweisen) dass wenn i nach k und k nach n geht, immer (n-k)+i+(k-i)=n ist. Deswegen kann ich n-k=J und k-i=K setzen und es in die gewünschte Form umschreiben. Stimmt die Argumentation einigermaßen? Gruß
16.10.2009, 11:49	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja passt so

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