Komplexe Zahlen - Real und Imaginärteil bestimmen

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Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen - Real und Imaginärteil bestimmen
Hallo,

Mein Studium hat Montag begonnen und wir haben in Mathe mit komplexen Zahlen angefangen. Und ich hab mich schonmal an die Aufgaben gemacht, die wir dann übernächste Woche abgeben sollen. Die 1.1 war recht einfach. Das waren nur Addition, Multiplikation und Division. Bei der 1.2. hab ich aber überhaupt keine Idee. Bestimmt werden soll der Real- und Imaginärteil.

a)

Achtung das + zwischen den beiden Termen wurde nachträglich von einem Minus geändert!!! Es war ein Tippfehler

b)

So und da stellt sich mir erstmal bei a) die Frage: Kann ich mit dem i ganz normal rumrechnen? Denn es ist ja . Das heißt für mich: Oder lieg ich da jetzt schon falsch? Denn wenn das so richtig ist, muss ich doch immer doppelt rechnen, das heißt eine Fallunterscheidung treffen, oder?

Nun gut und bei b, hmm, ja. Eine komplexe Zahl besteht ja aus Also wäre der Realteil ja hier 0, weil ja nur der Imaginäre Teil mit dem i vorhanden ist.

Ihr seht, mir ist das noch nicht so ganz klar. Hoffe auf Aufklärung.

Vielen Dank
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - Real und Imaginärteil bestimmen
Zitat:
Original von Wrandy
Hallo,

Mein Studium hat Montag begonnen und wir haben in Mathe mit komplexen Zahlen angefangen. Und ich hab mich schonmal an die Aufgaben gemacht, die wir dann übernächste Woche abgeben sollen.


Vorbildlich! Wenn du das Tempo beibehälst, wirst du vielen Problemen im Studium frühzeitig aus dem Weg gehen können.

Zu deinen Fragen:
Ja du kannst mmit dem ganz normal "rumrechnen". Interessant ist hierbei lediglich die Eigenschaft , deine restliche Überlegung
ist zwar Prinzipiell richtig, aber nur verwirrend und unnötig. Eine Fallunterscheidung ist nicht nötig. Mir hat es geholfen, dass einfach als Zeichen dafür zu sehen, dass ich zwei Zahlen nicht addieren darf, also als Unterscheidungszeichen von Real- und Imaginärteil.
Es wäre bspw. auch kein Problem die komplexen Zahlen ohne einzuführen, dabei braucht man dann eben besondere Rechenregel, dies wird in Algebra gern gemacht und das soll dich jetzt nicht weiter berühren.

Was du für deine Aufgabe in jedem Fall brauchst, ist eine Rechenregel zum Potenzieren komplexer Zahlen. Was hattet ihr in der Vorlesung?

Grüße!
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - Real und Imaginärteil bestimmen
Wir hatten wie gesagt die Rechenregeln (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division) und die Umrechnung in die trigonometrische Form und aus der trigonmetrischen in die Exponentialdarstellung.

Also:

Und daraus:

Deiner Frage zufolge nehme ich mal an, dass ich die Zahlen oben umwandeln muss? Aber um aus der algebraischen Form die trigonometrische zu machen muss ich ja wissen, was Realteil ist und was Imaginärteil ist...Aber das ist ja schon die Aufgabe...

Ansonsten hatten wir noch Multiplikation/Division in der trigonmetrischen und exponentiellen Darstellung.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen - Real und Imaginärteil bestimmen
Zitat:
Original von Wrandy
Und daraus:


Das ist doch schon ein guter Anfang.

Damit gilt also


Wenn du jetzt die beiden komplexen Zahlen und in die Expontentialdarstellung umwandelst, solltest du Teilaufgabe a lösen können.
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok, bin nicht darauf gekommen, dass in dem Term auch nochmal komplexe Zahlen stecken könnten. Also, wandel ich mal um

Das heißt und

und für gilt dann entsprechend und


So, und eingesetzt und ein bissel umgeformt hab ich dann folgendes:




So, jetzt bin ich mir unsicher, wie ich weiter machen soll. Sind die Umformungen bis hierhin überhaupt richtig/sinnvoll?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ja, die Umformungen sind richtig. Jetzt sollst du einfach deine komplexe Zahl ausrechnen. Wobei es sich leichter im Bogenmaß rechnen lässt:

 
 
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, weiß jetzt nicht, was du meinst. Wie rechne ich denn in diesem Ausdruck noch irgendwas aus? Soll ich für n einfach eine Zahl einsetzen?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Na du formst den gesamten Ausdruck aus. Big Laugh

Ziel deiner Übung istes, dass du dann am Ende etwas der Art steheh hast. Dies formst du dann wieder nach um und kannst dann Real- und Imaginärteil ablesen.

Als erstes fällt zB auf, dass du doch prima kürzen und ausklammern kannst.

n schleifst du sozusagen als Parameter mit.
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann habe ich:



Jetzt würde ich als nächsten Schritt den gemeinsamen Hauptnenner bilden, indem ich mit den ersten Term erweitere. Richtige Idee, oder nicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für errechnet man sofort . Dein letzter Term liefert dagegen den Wert . Das kann daher nicht stimmen.

Ich würde an diese Sache auch ganz anders herangehen. Wenn man nämlich

und

auf die kanonische Form bringt, ergibt sich ein besonders bequemer Wert. Dann kommt man mit



schnell ans Ziel. Eine Fallunterscheidung in gerade oder ungerade ist hilfreich.
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen letzten Term aus dem letzten Post oder dem vorletzten genommen? Mein letzter Post und die dort enthaltenen Terme sind ja noch von niemanden bestätigt worden.

Achja, ich hab gerade gesehen in deinem Term ein Minus zwischen den beiden Termen gesehen, daraufhin hab ich bei mir oben geschaut, weil in der Aufgabe steht ein plus! Das heißt die Aufgabe lautet:


Vielleicht stimmt mein Term deshalb nicht mit deinem Ergebnis überein?

Warum würdest du das ganze denn anders lösen? Und was passiert bei deinem Lösungsansatz mit ?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wrandy
Ok, dann habe ich:




Wo kommen jetzt plötzlich die Summen im Zähler her?



Damit würde ich jetzt weiterrechnen, ich habe es aber nicht gerechnet. Denn es ist ja auch nicht meine Hausaufgabe. Augenzwinkern
Leopolds Weg ist womöglich schneller und einfacher.

Gruß

EDIT: Latex verbessert (keine Zeilenschaltungen im Latexcode) (klarsoweit)
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

ok, hast recht, da war ein denk-/rechenfehler meinerseits drin.

Aber weiter umgeformt hab ich dann doch schonmal:



Ist jetzt der Punkt gekommen, an dem man wieder in die algebraische Form umwandeln muss?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Müssen musst du nicht, aber ich denke, jetzt wäre es sinnvoll.
Danach eventuell noch Additionstheoreme.

Gruß
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich nicht schon an der Stelle die Realteile und Imaginärteile bestimme über folgende Beziehungen:




Denn es sind und bleiben ja 2 komplexe Zahlen in einer, oder? Also zwei Realteile und zwei Imaginärteile... Oder kann man das wirklich noch zu zusammenfassen?
Ich würde jetzt einfach die beiden Real- und Imaginärteile hinschreiben über die Beziehung weiter oben im Post. Ich weiß halt nur nicht, ob das reicht als Ergebnis ?
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei ich inzwischen glaube, dass man das so gar nicht lösen soll, weil die Umwandlung von komplexen Zahlen in die trigonometrische Form wird in Aufgabe 1.4 dann noch explizit gefordert...

Daher möchte ich mal Leopolds Lösungsansatz aufgreifen:


Das +1 im Expnenten verschwindet indem man mit erweitert...So aber was habe ich jetzt davon? Ich seh da immernoch keine Möglichkeit die beiden Terme zusammenzufassen...

Und dann noch eine Frage: Variiert der Realteil und der Imaginärteil je nachdem ob die Zahl ungerade oder gerade ist ?

Grüße

Wrandy
heinzelotto Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst z.B. erweitern (falls du das nicht schon getan hast, in deinem Post steht sowas in der art smile ). Tipp: 3. Binomische Formel smile
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ja, aber da steht ja noch hoch n im Exponenten. ok, hab das mal gemacht:



Jetzt dachte ich, man könne für die einsetzen, aber dann entsteht ja eine Division durch null...
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das Problem ist, dass du dich verrechnet hast. Schau dir doch mal deinen Nenner nochmal an, ich denke da ist ein Vorzeichen falsch.

Aber ich versteh nicht ganz, warum du kurz vor der Lösung nochmal einen anderen Lösungsweg einschlägst. Man schwimmt doch auch nicht durch einen Fluss und hört dann kurz vorm anderen Ufer auf, nur weil man irgendwo eine strömungsärmere Stelle vermutet.

Zitat:
Original von Wrandy



Hier warst du doch schon fast fertig. Wandle doch nun einfach die beiden von dir richtig erkannten komplexen Zahlen in die kanonische Form um, du erhälst etwas der Art


Addition im komplexen Raum ist ja kein Problem. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wrandy


Jetzt dachte ich, man könne für die einsetzen, aber dann entsteht ja eine Division durch null...

Es geht erstmal nur um bzw. .

Den 1. Bruch kannst du zum Beispiel mit 1+i erweitern. Augenzwinkern
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schmonk
Ja das Problem ist, dass du dich verrechnet hast. Schau dir doch mal deinen Nenner nochmal an, ich denke da ist ein Vorzeichen falsch.

Aber ich versteh nicht ganz, warum du kurz vor der Lösung nochmal einen anderen Lösungsweg einschlägst. Man schwimmt doch auch nicht durch einen Fluss und hört dann kurz vorm anderen Ufer auf, nur weil man irgendwo eine strömungsärmere Stelle vermutet.

Zitat:
Original von Wrandy



Hier warst du doch schon fast fertig. Wandle doch nun einfach die beiden von dir richtig erkannten komplexen Zahlen in die kanonische Form um, du erhälst etwas der Art


Addition im komplexen Raum ist ja kein Problem. Augenzwinkern


Ja nur, dass ich nach der Umwandlung überhaupt nicht mehr durchsehe, weil das sieht bei mir so aus:



ich bin mir da nichtmal sicher, ob das überhaupt stimmt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, warum du dich mit solch üblen Rechnungen rumschlägst und nicht den Tipp von Leopold bzw. mir beherzigst. geschockt
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweitIch verstehe nicht, warum du dich mit solch üblen Rechnungen rumschlägst und nicht den Tipp von Leopold bzw. mir beherzigst. geschockt


Und ich verstehe nicht, warum hier jemand beim Verstehen behindert und vorsätzlich verwirrt wird. böse

Zitat:
Original von MatheBoard
Viele Köche verderben den Brei (oder so ähnlich). Wenn bereits ein Dialog zwischen User und Helfer besteht und alles glatt läuft, halte Deine Vorschläge solange zurück bis das Problem des Users gelöst wurde. Es ist meistens nicht ratsam den User mit den verschiedensten Vorschlägen zu bombardieren. Erst wenn Du merkst, dass der Helfer gerade keine Zeit hat [...], sich Rechen- oder Denkfehler eingeschlichen haben [...] oder der User mit den Erklärungen überfordert ist, kannst Du eingreifen und den Dialog wieder in die richtige Richtung lenken. Wenn das Problem gelöst wurde, freut sich der User bestimmt über andere bessere Lösungswege. Erst einmal muss er wenigstens einen Weg verstehen.


Mein Ziel war, dass Wrandy prinzipiell ohne Sorgen und Probleme an Aufgaben ähnlichen Typs herangeht, ohne dabei auf das Erkennen von etwaigen Rechentricks oder Vereinfachungen angewiesen zu sein. Wenn er 20mal die Eulersche Formel angewendet hat, kann er sie für den Rest seines Studiums.
Besonders irritierend finde ich deinen Einwurf, zumal Wrandy tatsächlich schon die Lösung seiner Aufgabe dastehen hat, es aber nur nicht sieht.

Zitat:
Original von Wrandy
Ja nur, dass ich nach der Umwandlung überhaupt nicht mehr durchsehe, weil das sieht bei mir so aus:



ich bin mir da nichtmal sicher, ob das überhaupt stimmt.


Hallo!

Ja, das stimmt so (Vorzeichen habe ich jetzt nicht geprüft), du bist fertig, denn umordnen liefert



Jetzt musst du einfach für für n Zahlen einsetzen, also , bei wirst du sehen, dass du wieder beim Ergebnis von herauskommst, siehe auch Periodizität der Winkelfunktionen.
Unter Einsatz der Additionstheoreme kannst du die komplexen Zahlen sogar im Kopf ausrechnen.
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich habe folgendes raus:





Im Imaginärteil entsteht bei mir immer eine null... korrekt?
Und der Realteil ist jeweils -2 und 2...korrekt?

Beziehungsweise die Aufgabe war ja nur die Bestimmung des Real und Imaginärteils. Muss ich da für n Zahlen einsetzen, oder kann ich nicht einfach den vorderen Teil ohne das (und mit den beiden cosinus) als Realteil und den anderen Teil als Imaginärteil verkaufen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schmonk
Zitat:
Original von klarsoweitIch verstehe nicht, warum du dich mit solch üblen Rechnungen rumschlägst und nicht den Tipp von Leopold bzw. mir beherzigst.


Und ich verstehe nicht, warum hier jemand beim Verstehen behindert und vorsätzlich verwirrt wird. böse

Meine Einmischung erfolgte aufgrund von:
Zitat:
Original von Wrandy
Wobei ich inzwischen glaube, dass man das so gar nicht lösen soll, weil die Umwandlung von komplexen Zahlen in die trigonometrische Form wird in Aufgabe 1.4 dann noch explizit gefordert...

Daher möchte ich mal Leopolds Lösungsansatz aufgreifen:


Und ich denke, als Moderator habe ich nicht nur das Recht, sondern auch die Pflicht, auf Alternativen hinzuweisen, wenn vorgeschlagene Lösungswege möglicherweise so nicht gefragt sind.

@Wranndy: die Lösungen sind ok.
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Und muss ich dort n noch einsetzen oder ist es auch in Ordnung, wenn ich Real und Imaginärteil mit dem n angebe?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe die Frage nicht so ganz. Du mußt nur angeben, für welche n welche Lösung herrauskommt.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wrandy
Und muss ich dort n noch einsetzen oder ist es auch in Ordnung, wenn ich Real und Imaginärteil mit dem n angebe?


Theoretisch geht das so in Ordnung, praktisch wird jedoch dein Korrektor sicherlich immer darauf bestehen, dass du dein Ergebnis soweit wie möglich vereinfachst. Und das zu Recht!
Insbesondere wird von dir als Student erwartet, dass du weißt, dass gilt und folglich der Imaginärteil identisch Null verschwindet. Und auch den Realteil würde ich ausgerechnet angeben. Ich kenne sogar Seminarleiter, die den Einsats von Taschenrechnern nicht akzeptieren und erwarten, dass aus deinem Lösungsweg deutlich wird, wie du den Realteil berechnet hast. Hierbei hilft und das Additionstheorem für den Cosinus. All das gehört zu den mathematischen Grundwerkzeugen und sollte von dir sicher beherrscht werden, zumal du in einer Klausur idR keinen TR verwenden darfst.
Vergiss bitte auch nicht, deine Lösung so zu formulieren, dass deutlich wird, wie das Ergebnis für alle aussieht, momentan hast du es ja nur für angegeben.



@klarsoweit: Ich habe nach einem stressigen Arbeitstag vielleicht etwas überreagiert und es ist ja super, dass ihr Moderatoren das Matheboard so gut hegt und pflegt. Danke dafür. Das hört ihr bestimmt selten genug.
Aber du wirst die Ursache meines Grolls sicher dennoch nachvollziehen können.

Liebe Grüße!
Wrandy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schmonk
Zitat:
Original von Wrandy
Und muss ich dort n noch einsetzen oder ist es auch in Ordnung, wenn ich Real und Imaginärteil mit dem n angebe?


Theoretisch geht das so in Ordnung, praktisch wird jedoch dein Korrektor sicherlich immer darauf bestehen, dass du dein Ergebnis soweit wie möglich vereinfachst. Und das zu Recht!
Insbesondere wird von dir als Student erwartet, dass du weißt, dass gilt und folglich der Imaginärteil identisch Null verschwindet. Und auch den Realteil würde ich ausgerechnet angeben. Ich kenne sogar Seminarleiter, die den Einsats von Taschenrechnern nicht akzeptieren und erwarten, dass aus deinem Lösungsweg deutlich wird, wie du den Realteil berechnet hast. Hierbei hilft und das Additionstheorem für den Cosinus. All das gehört zu den mathematischen Grundwerkzeugen und sollte von dir sicher beherrscht werden, zumal du in einer Klausur idR keinen TR verwenden darfst.
Vergiss bitte auch nicht, deine Lösung so zu formulieren, dass deutlich wird, wie das Ergebnis für alle aussieht, momentan hast du es ja nur für angegeben.



@klarsoweit: Ich habe nach einem stressigen Arbeitstag vielleicht etwas überreagiert und es ist ja super, dass ihr Moderatoren das Matheboard so gut hegt und pflegt. Danke dafür. Das hört ihr bestimmt selten genug.
Aber du wirst die Ursache meines Grolls sicher dennoch nachvollziehen können.

Liebe Grüße!


ok. Die trigonometrischen Funktionen war in meinem Jahrgang leider kein Abistoff. Folglich auch von den Lehrern nicht behandelt. Jahrgang nach und vor mir hat das allerdings. Versteh ich auch nicht wirklich.
Das wir in Mathe kein Taschenrechner verwenden dürfen, weiß ich...

Gut, dann ist ja der Imaginärteil 0 und das Ergebnis muss ich quasi einfach als Vielfaches angeben mit n,2n,3n und 4n angeben
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wrandy

Gut, dann ist ja der Imaginärteil 0 und das Ergebnis muss ich quasi einfach als Vielfaches angeben mit n,2n,3n und 4n angeben

Nein, sondern mit n = 4k + j und k aus N und j = 0; 1; 2 und 3. smile
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