sigma-Algebra

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Watchel Auf diesen Beitrag antworten »
sigma-Algebra
Hallo,

Meine Aufgabe: Es sei Epsilon eine sigma-Algebra auf , die alle offenen Kreisscheiben enthält. Dann enthält sie auch
alle offenen Rechtecke.

Warum das so ist, ist mir klar. Man betrachte als die Möglichen Mittelpunkte der Kreise und legt dann mit geeignetem Radius die Kreise so zusammen, dass sie ein Rechteck ergeben. da abzählbar ist, kann man also aus abzählbar vielen Kreisen die Rechtecke machen. Daher enthält also die sigma-Algebra auch die Rechtecke.
Mir ist nur nicht klar, wie man das mathematisch vernünftig aufschreibt.

Kann mir dabei jemand helfen!!

Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten eine passende abzählbare Vereinigung direkt aufschreiben. Sei ein offener Kreis mit Mittelpunkt und Radius .

Für kannst du dann das Rechteck direkt so als abzählbare Vereinigung darstellen:

Watchel Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du sagen, wie du darauf kommst, ich würde gerne verstehen, was das bedeutet

danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sprachlich formuliert werden für jeden rationalen inneren Punkt des offenen Rechteckes alle Kreise mit rationalem Radius, die nicht über den Rand des Rechtecks ragen, in die Vereinigung aufgenommen. Es sollte ziemlich klar sein, dass auf diese Weise alle Punkte des Rechtecks erfasst werden, aber auch keine weiteren (d.h. äußeren oder Rand-Punkte). Ein paar weniger hätten es sicher auch getan, aber warum kleckern statt klotzen? Augenzwinkern
Watchel Auf diesen Beitrag antworten »

ok,
eine sache noch:

was hat es mit dem min(...) auf sich? ich muss doch die radien unterschiedlich wählen. wie funktioniert das mit der abhängigkeit von x x1 und x2???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Minimum ist nur die algebraische Umsetzung dieser geometrischen Bedingung

Zitat:
Original von Arthur Dent
die nicht über den Rand des Rechtecks ragen

Male es dir mal auf, dann siehst du es.
 
 
Watchel Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich glaube jetzt hab ichs.

Danke
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