Bild und Urbild surjektivität

16.10.2009, 17:14

Torrac

Bild und Urbild surjektivität

Ich bin grade am Thema Bild und Urbilder. Ich tu michd amit recht schwer und verstehe in den Beispielen meines Heftes einfach nicht den Sinn.

1. Sei $\begin{eqnarray*} f :\mathbb R x \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f((x,y)) = x+y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R x \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv, denn wenn $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} (0,z)\in\mathbb R x \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und es ist $\begin{eqnarray*} f((0,z)) = 0 + z = z \end{eqnarray*}$ . Jedes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt also ein Urbild unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . (Jetzt mal ganz ehrlich wer soll das verstehen?)

2.Sei $\begin{eqnarray*} g : \mathbb N ->\mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} g(n) = -n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv, denn das Element [latex]0\in\mathbb Z[latex] besitzt kein Urbild.

Könnte mir jemand die beiden Beispiele übersetzen und vllt anhand von "normalen" f(x)=y Formeln oder Graphen erklären?Das würde mir echt helfen

17.10.2009, 11:29

Torrac

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So mal die verbesserte Version!

Ich bin grade am Thema Bild und Urbilder. Ich tu mich damit recht schwer und verstehe in den Beispielen meines Heftes einfach nicht den Sinn.

1. Sei $\begin{eqnarray*} f :\mathbb R x \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f((x,y)) = x+y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R x \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv, denn wenn $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} (0,z)\in\mathbb R x \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und es ist $\begin{eqnarray*} f((0,z)) = 0 + z = z \end{eqnarray*}$ . Jedes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt also ein Urbild unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . (Jetzt mal ganz ehrlich wer soll das verstehen?)

2.Sei $\begin{eqnarray*} g : \mathbb N ->\mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} g(n) = -n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv, denn das Element $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ besitzt kein Urbild.

Könnte mir jemand die beiden Beispiele übersetzen und vllt anhand von "normalen" f(x)=y Formeln oder Graphen erklären?Das würde mir echt helfen

17.10.2009, 11:55

kiste

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Hallo,

dein Problem ist mir nicht klar. Du hast sowohl die Aufgabe als auch die Lösung gegeben.
Ein Funktion f: A->B heißt surjektiv falls für jedes b in B ein a in A existiert mit f(a)=b

Im ersten Beispiel wurde das a explizit angegeben nämlich als a=(0,b). Dort war dann f(a) = b also die Definition für surjektiv erfüllt.

Im zweiten Beispiel wurde gezeigt dass die Funktion nicht surjektiv ist weil die 0 kein Urbild hat, denn für alle n in IN gilt g(n) < 0

Einmal ein Graph einer typischen auf IR nicht surjektiven Funktion:

Beachte dass diese Funktion surjektiv ist wenn man nur die positiven reellen Zahlen betrachtet.

17.10.2009, 12:00

Mazze

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Zitat:

(Jetzt mal ganz ehrlich wer soll das verstehen?)

Ich versteh es vollkommen, weil es genau den Kern der Surjektivität trifft. Was verstehst Du daran nicht? Es muss ja irgendwas an der generellen Formulierung sein. Nochmal zur Klarheit, eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f:A \to B \end{eqnarray*}$

nimmt Werte $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und bildet sie auf Werte $\begin{eqnarray*} y \in B \end{eqnarray*}$ ab. Dafür schreibt man auch $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ . Die Funktion heisst Surjektiv wenn wir alle $\begin{eqnarray*} y \in B \end{eqnarray*}$ "treffen". Sprich, es gibt ein $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = y \in B \end{eqnarray*}$ gilt, für jedes y.

17.10.2009, 13:04

Torrac

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Die Beispiele sind aus meinem Heft also enthalten sie auch die Lösung.
Ich komme nur mit der Forumulierung nicht so ganz klar. Für mich ist es schwer zu verstehen wann etwas surjektiv ist, weil einfach anschauliche Beispiele fehlen. Mir würde umgangssprache helfen oder einen Graphen der mir zeigt welcher teil bild und welcher urbild ist usw.
Ich denke das ganze an sich ist sehr einfach wenn einmal der groschen gefallen ist nur ich hab die blockade wegen den komplizierten Formulierungen.

Nehmen wir z.b. das zweite Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g(n) = -n \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} f(x) = -x \end{eqnarray*}$

Warum hat die 0 Kein urbild?

17.10.2009, 13:16

kiste

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Etwas ist surjektiv wenn es die Definition der Surjektivität erfüllt.
Schaue dir die Definition genau an. Verstehe was gefordert wurde. Und dann schaue was gezeigt wurde.

Du solltest dich m.E. von der Anschauung lösen, solche Anschauungsmodelle haben in der Schule noch ganz gut funktioniert, in der höheren Mathematik wirst du damit große Probleme bekommen.

Aber wenn du es unbedingt willst, hier eine anschauliche Erklärung(muhaha das Beispiel ist sooo schlecht Big Laugh

):
Stelle dir A als eine Menge von ganz vielen Personen vor, B als eine Menge von Orten.
Eine Funktion f : A -> B ordnet jeder Person seinen Wohnort zu.
Man nennt f jetzt surjektiv wenn an jedem Ort x mindestens eine Person wohnt, also es eine Person p gibt mit f(p) = x
Man nennt f weiter injektiv falls an jedem Ort maximal eine Person wohnt

Sehe gerade du hast deinen Beitrag noch editiert:
Hier sieht man bereits das Problem der Anschauung, g ist keine Funktion auf den reellen Zahlen sondern auf den natürlichen Zahlen!
Insbesondere stimmt der Graph also nicht, sondern im Graph sind nur die Gitterpunkte im 4. Quadrant.
Also die Punkte (1,-1), (2,-2) etc.

17.10.2009, 13:19

Torrac

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Zitat:

Original von kiste
Sehe gerade du hast deinen Beitrag noch editiert:
Hier sieht man bereits das Problem der Anschauung, g ist keine Funktion auf den reellen Zahlen sondern auf den natürlichen Zahlen!
Insbesondere stimmt der Graph also nicht, sondern im Graph sind nur die Gitterpunkte im 4. Quadrant.
Also die Punkte (1,-1), (2,-2) etc.

Aber selbst dann würde doch (0,0) dazu gehören oder?

17.10.2009, 13:33

kiste

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ihr habt offensichtlich $\begin{eqnarray*} 0\not\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert. Aber selbst wenn 0 in IN wäre ist das auch kein Problem:
Dann hat eben die 1 kein Urbild Augenzwinkern

17.10.2009, 13:41

Torrac

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Zitat:

Original von kiste
ihr habt offensichtlich $\begin{eqnarray*} 0\not\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert. Aber selbst wenn 0 in IN wäre ist das auch kein Problem:
Dann hat eben die 1 kein Urbild Augenzwinkern

Also das ist alles was in dem Beispiel drin steht. Nirgends ist $\begin{eqnarray*} 0\not\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ festgelegt.

Und warum hat 1 Kein Urbild?

17.10.2009, 13:43

kiste

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Das habt ihr auch nicht im Beispiel festgelegt sondern in der Vorlesung. Aber spielt auch keine Rolle.

Ich habe schonmal gesagt: g(x) < 0 und damit kann auch kein y existieren mit g(y) = 1 da 1 < 0 falsch ist.

Siehst du ja auch im Graph:
Der geht nur ins negative

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