vollständige induktion

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17.10.2009, 12:33	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige induktion $\begin{eqnarray} \forall\ n \in \mathbb N : 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left(n+1\right)^{2} \end{eqnarray}$ Die Gültigkeit der aussage soll mittels vollständiger induktion gezeigt werden. $\begin{eqnarray} A(n)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left(n+1\right)^{2}<br /> <br /> A(1)=1^{3}=\frac{1}{4}1^{2}\left(1+1\right)^{2}<br /> \end{eqnarray}$ Probe n=1 stimmt. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A(n+1)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}+(n+1)^{3}=\frac{1}{4}(n+1)^{2}\left(n+2\right)^{2}<br /> <br /> \frac{1}{4}n^{2}\left(n+1\right)^{2}+(n+1)^{3}=\frac{1}{4}(n+1)^{2}\left(n+2\right)^{2}<br /> <br /> n^{2}\left(n+1\right)^{2}+4(n+1)^{3}=(n+1)^{2}(n+2)^{2}<br /> <br /> n^{2}+4(n+1)=(n+2)^{2}<br /> n²+4n+4=n²+4n+4 \end{eqnarray}$ q.e.d Habe lange keine mathematischen beweise mehr durchgeführt und wollte daher nur wissen ob die vorgehensweise richtig war/ist und der lösungsweg lückenlos dargestellt ist. danke für den kurzen checkup
17.10.2009, 12:38	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mir fallen direkt 2 Dinge auf: 1.) Du streubst dich gegen das Summensymbol. 2.) Du nimmst die zu zeigende Aussage und wandelst sie in eine wahre Aussage um 1.) ist noch in Ordnung falls ihr die Aufgabe so gestellt bekommen habt, ist aber m.E. nicht schön 2.) ist eine Angewohnheit die du dir sehr schnell abgewöhnen solltest. In diesem Fall ist sie nicht falsch da du nur Äquivalenzumformungen gemacht hast. Es passiert jedoch schnell das man einmal Folgerungen macht die nur in eine Richtung gehen und dann wird der Beweis falsch. Schöner wäre also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3 = \frac 1 4n^2(n+1)^2 + (n+1)^3= \frac 1 4(n+1)^2(n^2+4(n+1)) = \frac 1 4(n+1)^2(n+2)^2 \end{eqnarray}$
17.10.2009, 12:56	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok danke.vielleicht kannst du mir, da noch den ansatz für die nachfolgende aufgabe geben. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k^{3}= (1+2+3+...+n)^{2}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ 1. Wie stelle ich die zweite aussage als summe dar? 2. wie muss ich da jetzt rangehen? Hab es in der schule immer nach "meinem" weg gelernt. danke schonmal
17.10.2009, 13:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn bekannt ist dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1) \end{eqnarray}$ dann ist das nur einsetzen zusammen mit der letzten Aussage, ansonsten musst du die Formel oben eben noch mit Induktion zeigen.
17.10.2009, 13:11	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
ne is nich bekannt. wie schreib ich denn nun $\begin{eqnarray} (1+2+3+...+n)² \end{eqnarray}$ als summe?
17.10.2009, 13:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja eben $\begin{eqnarray} (\sum_{k=1}^n k)^2 \end{eqnarray}$ . Ausmultiplizieren macht das Problem nur komplizierter. Und wie gesagt: Zeige $\begin{eqnarray} (\sum_{k=1}^n k) = \frac 1 2 n(n+1) \end{eqnarray}$ und du bist fertig.
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17.10.2009, 13:39	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
sprich $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}~k=\sum_{k=1}^n~k +(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n²+3n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray}$ damit fertig oder?
17.10.2009, 13:41	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Induktionsanfang fehlt aber sonst ok Erkennst du warum du damit die Aussage gezeigt hast die du zeigen wolltest?
17.10.2009, 13:53	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
jo denke schon. $\begin{eqnarray} \left(\sum_{k=1}^nk\right)^{2}=\frac{1}{4}n²(n+1)² \end{eqnarray}$ "gewurzelt" $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1) \end{eqnarray}$ und dass hab ich ja nun (wenn auch mit fehlender $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{1}k=1 \end{eqnarray}$ )gezeigt oder?
17.10.2009, 13:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zeigt schon wieder deine falsche Denkweise. Du formst nicht die Behauptung um, sondern das bereits gezeigt. Das heißt du "wurzelst" nicht, sondern du quadrierst das bereits gezeigt und damit hast du die Behauptung gezeigt.
17.10.2009, 14:02	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber letztlich hatten wir doch die aussage die wir gezeigt haben vorher gar nicht gegeben gehabt. sprich wir haben die ja aus der zu zeigenden aussage herausgezogen oder?
17.10.2009, 14:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe es einmal als Gleichungskette dann sollte es klar sein: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1) \Rightarrow (\sum_{k=1}^n k)^2 = (\frac 1 2 n(n+1))^2 = \frac 1 4 n^2(n+1)^2 = \sum_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray}$ Das letzte = wegen der vorigen Aufgabe
17.10.2009, 14:09	RS	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist ja klar. aber ich muss ja letztlich erstmal überhaupt drauf kommen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1) \end{eqnarray}$ zu zeigen. und dafür musst du ja schon vorher wissen, dass du es am ende quadrieren wirst um $\begin{eqnarray} (\sum_{k=1}^n k)^2 = (\frac 1 2 n(n+1))^2 = \frac 1 4 n^2(n+1)^2 = \sum_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Du kommst ja nich aus heiterem himmel darauf eine beliebige aussage zu zeigen, die am ende quadriert dann zufälligerweise die ursprünglich zu beweisende aussage bestätigt.
17.10.2009, 14:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich, man kommt anders auf die Aussagen die man zeigen muss. Aber zeigen muss man sie dann in der richtigen Reihenfolge!

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