Cauchy-Produkt

17.10.2009, 15:09

Nani

Cauchy-Produkt

Hallo miteinander!

Ich beschäftige mich mit folgender Aufgabe:

[attach]11500[/attach]

..und hätte dazu die grundlegende Frage, was denn hier konkret zu zeigen ist - und wie..

Für Anregungen bin ich sehr dankbar!
Merci! smile

17.10.2009, 16:17

Mathespezialschüler

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Hallo!
Ich verstehe nicht ganz. Es steht doch da, was zu zeigen ist. verwirrt

Bei der ersten Aufgabe solltest du einfach allgemein mal beide Seiten ausrechnen und dann nochmal etwas genauer hingucken. Dann ist es eigentlich nicht so schwierig.

Bei der zweiten Aufgabe kannst du die Partialsummen ja explizit ausrechnen und das sollst du ja auch machen (siehe Tipp).

17.10.2009, 16:44

Bakatan

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Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^kz_n=\left(\sum_{n=0}^ka_n\right)² \end{eqnarray*}$ und du im Endlichen die dritte binomische Formel anwenden kannst. Der Rest sind simple Umformungen.
So stelle ich mir das zumindest vor. Das erwünschte kommt auch heraus Augenzwinkern

17.10.2009, 22:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Bakatan
Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^kz_n=\left(\sum_{n=0}^ka_n\right)² \end{eqnarray*}$

Das ist aber leider falsch, da sonst sogar Gleichheit oben gelten würde.

17.10.2009, 23:36

Nani

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Also, folgendes ist mir klar:

$\begin{eqnarray*} e_k = | \frac{\sum_{n=0}^ \infty ~a_n - \sum_{n=0}^ k~a_n}{\sum_{n=0}^ \infty ~a_n} | \\<br /> <br /> f_k = \frac{[(\sum_{n=0}^ \infty ~a_n) \cdot (\sum_{n=0}^ \infty ~a_n] - [(\sum_{n=0}^ k~a_n) \cdot (\sum_{n=0}^ k ~a_n)]}{(\sum_{n=0}^ \infty ~a_n) \cdot (\sum_{n=0}^ \infty ~a_n)} \end{eqnarray*}$

Zudem kann ich sagen, dass wenn k = oo wäre, dass sich dann der Zähler so weit vereinfacht, dass man dort jeweils nur noch eine 1 schreiben kann.

Wie kann ich nun aber mathematisch korrekt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_k \geq (2e_k - e^2_k) \end{eqnarray*}$ ?

Herzlichen Dank für die Hilfe!

17.10.2009, 23:38

Nani

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*edit*

f_k natürlich mit Betragszeichen --> sorry!

17.10.2009, 23:41

Bakatan

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Ups, da ist wohl ein $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ zum $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ geworden Ups

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^k\sum_{i=0}^na_ia_{n-i} \end{eqnarray*}$ hat eben doch nicht alle Glieder von $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^ka_k\right)² \end{eqnarray*}$ sofort drin.
*lieber das Weite such* Ich denke mal Mathespezialschüler ist hier etwas sicherer als ich es bin Big Laugh

18.10.2009, 00:34

Nani

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Ich hätte dann auch zur Teilaufgabe b noch zwei Fragen:

Und zwar habe ich zuerst die "Vereinfachung" unter "Tipp" versucht zu beweisen.
Ich habe für d_0 : 1, für d_1: 2, für d_3: 11/4, für d_4: 1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16, für ... und für d_k: (4 - (k+3)*2^-k erhalten. (..was gleich dem zu zeigenden ist..)
Das Resultat bei d_k habe nicht ich, sondern eigentlich mein Rechner herausgefunden - wie hat er das aber genau angestellt? ..ich konnte leider nicht viel aus meinen eigenen Beispielen folgern - ausser dass der Zähler sich ab 1bei jedem Schritt um 1 erhöht und dass sich der Nenner um die 2 mit jeweils +1 Mal höherem Exponenten erhöht..

Dann ging ich zur eigentlichen Rechung, und habe dort (auch teilw. mit Hilfe des Rechners) herausgefunden, dass
$\begin{eqnarray*} f_k = | \frac{(4 \cdot 2^k -1)( \frac{1}{4})^k}{4} | \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} e_k = | \frac{2^{-k}}{2} | \end{eqnarray*}$
ist.

Nun habe ich gesagt, dass f_k > e_k gilt, dann habe ich e_k mit 2 multipliziert (= 2^{-k} ) und habe widerum gesagt, dass dann f_k grösser oder zumindest gleich e_k sein muss (wegen der "Stärke" des Bruches).

Ist die Teilaufgabe so richtig gelöst?

18.10.2009, 13:14

Mathespezialschüler

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Hallo!
Man sollte sich bei dieser Aufgabe bemühen, die Notation so zu wählen, dass einen die Summen nicht erschlagen.

Setze z.B. $\begin{eqnarray*} r_k:=\sum_{n=0}^k~a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_k:=\sum_{n=0}^k~z_n \end{eqnarray*}$ . Dann ist (beachte, dass man die Beträge auch weglassen kann, weil das Argument stets nichtnegativ ist! (warum?))

$\begin{eqnarray*} e_k(2-e_k)=\frac{a-r_k}{a}\cdot\left(2-\frac{a-r_k}{a}\right)=\frac{a-r_k}{a}\cdot\left(\frac{2a-(a-r_k)}{a}\right)=\frac{(a-r_k)(a+r_k)}{a^2}=\frac{a^2-r_k^2}{a^2} \end{eqnarray*}$ .

Auch bei $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ kann man die Beträge weglassen. Damit wird die behauptete Ungleichung äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} s_k\leq r_k^2 \end{eqnarray*}$

und jetzt musst du dir noch überlegen, warum das immer erfüllt ist.

Zur zweiten Aufgabe: Das kann man mit etwas tricksen als Summe geometrischer Reihen sehen. Wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~\frac{i+1}{2^i}=\sum_{i=0}^k~\frac{i}{2^i}+\sum_{i=0}^k~\frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$

reicht es, $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~\frac{i}{2^i} \end{eqnarray*}$ zu berechnen (die andere Summe solltest du kennen). Das geht so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~\frac{i}{2^i}=\frac{0}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\ldots+\frac{k}{2^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2^1}&+\frac{1}{2^2}+\ldots&+\frac{1}{2^k}\\ &+\frac{1}{2^2}+\ldots&+\frac{1}{2^k}\\ &\vdots &\\ & &+\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{j=1}^k~\sum_{i=j}^k~\frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du den Wert ausrechnen. Probier es mal und dann gucken wir nochmal weiter.

18.10.2009, 20:06

Nani

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Wow!
Vielen herzlichen Dank für die ausführliche Antwort!! smile

Also die erste Teilaufgabe habe ich voll und ganz verstanden, danke! smile

Zur zweiten Aufgabe hätte ich noch eine Frage:
Und zwar sind mir deine Umformungen wirklich gut nachvollziehbar - nur: Wie kann ich mit diesem Wissen schliessen, dass f_k >= 2e_k ist?

Also f_k wäre ja dann folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{(\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{1}{2^n})^2 - (\sum_{n=1}^ k~ \frac{1}{2^n})(\sum_{n=1}^ k ~ \frac{1}{2^n})}{(\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{1}{2^n})^2} \end{eqnarray*}$ , nicht wahr?

..mit den neuen Erkenntnissen lässt sich das aber sicher anders schreiben, bzw. klarer darstellen..

18.10.2009, 23:29

Mathespezialschüler

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Nein, das ist nicht $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} e_k(2-e_k) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ kannst du mithilfe der geometrischen Summenformel so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~\frac{i}{2^i}=\sum_{j=1}^k~\sum_{i=j}^k~\frac{1}{2^i}=\sum_{j=1}^k~\frac{1}{2^j}\cdot\sum_{i=0}^{k-j}~\frac{1}{2^i}=\sum_{j=1}^k~\frac{1}{2^j}\cdot\frac{1-\frac{1}{2^{k-j+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\sum_{j=1}^k~\frac{1}{2^{j-1}}-\sum_{j=1}^k~\frac{1}{2^{j-1}}\cdot\frac{1}{2^{k-j+1}}=\frac{1-\frac{1}{2^k}}{1-\frac{1}{2}}-\sum_{j=1}^k~\frac{1}{2^k}=2-\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{k}{2^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f_k=\sum_{i=0}^k~\frac{i}{2^i}+\sum_{i=0}^k~\frac{1}{2^i}=2-\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{k}{2^k}+\frac{1-\frac{1}{2^{k+1}}}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{k}{2^k}+2-\frac{1}{2^k}=4-\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{k+1}{2^k} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 23:42

Nani

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Wow!
Das ist echt 'ne Hammer-Arbeit!

Respekt! smile

Ich sehe aber noch nicht ganz ein, warum $\begin{eqnarray*} f_k=\sum_{i=0}^k~\frac{i}{2^i}+\sum_{i=0}^k~\frac{1}{2^i} \end{eqnarray*}$ ist..
..ich habe eben versucht, e_k nun auch richtig (nach deiner Umformung) zu berechnen, was mir eben wegen dieser Unklarheit noch nicht gelungen ist..

Aber herzlichen Dank nochmals - und ein dickes Lob!

19.10.2009, 18:04

Mathespezialschüler

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Hallo!
Das ist natürlich falsch. Ich meinte eigentlich $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ ist nämlich die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Partialsumme des Cauchyprodukts von $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{\infty}~\frac{1}{2^j} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst, d.h.

$\begin{eqnarray*} s_k=\sum_{i=0}^k~\sum_{j=0}^i~\frac{1}{2^j}\cdot\frac{1}{2^{k-j}} \end{eqnarray*}$ .

Daraus kannst du $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ berechnen.

Außerdem solltest du $\begin{eqnarray*} r_k=\sum_{n=0}^k\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ und damit dann auch

$\begin{eqnarray*} e_k(2-e_k)=\frac{a^2-r_k^2}{a^2} \end{eqnarray*}$

berechnen können.

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