Summenzeichen: Induktions-, anfang-, annahme-, schluss...?

17.10.2009, 15:36

bandchef

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Summenzeichen: Induktions-, anfang-, annahme-, schluss...?

Hallo Leute!

Ich hab folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß leider nicht was ich damit machen soll und wie es geht... :-( Kann mir jemand helfen? In der FH haben wir - wie oben schon geschrieben - irgendwas mit Induktionsanfang, Induktionsannahme und Induktionsschluss aufgeschrieben aber ich hab das irgendwie überhaupt nicht verstanden!

danke, bandchef

17.10.2009, 15:40

Bakatan

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Begreifst du vollständige Induktion im allgemeinen? Oder geht es nicht nur um die Aufgabe, sondern das Thema Induktion?

17.10.2009, 15:45

bandchef

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Ich begreife weder die "Induktion" noch die mir gestellte Aufgabe...

ABER: Ich bin guter Dinge :-)

17.10.2009, 15:55

Bakatan

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Allgemein zu Induktion. Es gibt eine wichtige Eigenschaft, die Wohlordnung von N. Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen hat ein kleinstes Element. Das klingt zwar relativ offensichtlich, daraus folgt jedoch:
Ist M eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften:
a) 1 ist in M
b) aus k in M folgt k+1 ebenfalls in M
so ist M=N

Das benutzt man nun:
Ist eine Aussage für n=1 erfüllt, und folgt aus der Wahrheit für n=k auch die von n=k+1, so ist $\begin{eqnarray*} A=\{a|\text{Regel stimmt}\}=\mathbb N \end{eqnarray*}$ da es eine Menge ist, die eben diese Bedingungen erfüllt. Also ist die Formel für alle n aus N wahr.
Später kann man dann auch noch beweisen, dass es mit einem beliebigen Startwert geht und man so Formeln für alle n>Startwert beweisen kann.

Zur Vorgehensweise:
Infuktionsanfang: Man suche sich einen Startwert. Hier der normalste: 1
Ist die Formel erfüllt?
Induktionsschritt: Gilt die Formel für n=k+1 wenn man verwenden darf, dass sie für n=k bereits funktioniert?
Induktionsschluss: Wenn beides mit ja beantwortet wurde, gilt die Formel für alle n aus N.

17.10.2009, 16:03

baphomet

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RE: Summenzeichen: Induktions-, anfang-, annahme-, schluss...?
Bei der Induktion hat man eine gegebene Gleichung, für diese muß man beweisen das diese allgemein gilt. Als erstes prüft man ob die obige Glichung für 1 erfüllt ist, trifft dies zu muß weiter gemacht werden, ansonsten ist bewiesen das die Gleichung nicht gilt.
Darauffolgend nimmt man obige Gleichung für A(n) muss gelten, daraus läßßt sich schlussfolgern das diese allgemein für A(n+1) gelten muß, dies ist die Annahme die mittels Umformungen bewiesen werden muß.

Gib dir mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n=1+2+3+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} A(1)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, also weiter beweisen
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} A(n)=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Schlußfolgerung: $\begin{eqnarray*} A(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Nun folgt der Beweis, man muß zeigen das man auf den Ausdruck von A(n+1) kommt.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2}<br /> <br /> 1+2+3+\ldots +n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+{n+1}<br /> 1+2+3+\ldots +n+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}<br /> 1+2+3+\ldots +n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}<br /> <br /> q.e.d \end{eqnarray*}$

man ersetzt n also einfach auf beiden Seiten durch (n+1) und durch Umformungen erreicht man den Beweis.

17.10.2009, 16:22

bandchef

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Also Leute erstmal danke für eure Antworten.

Ich werde jetzt mal versuchen, dass gelernte Wissen auf meine Hausaufgabe anzuwenden.

@baphomet: Dieses q.e.d am Schluss deiner Erklärung hat unser Prof in der Vorlesung auch gemacht; ich weiß aber leider nur noch, dass es lateinisch ist. Ich weiß aber leider nicht mehr den "Wortlaut" und auch nicht mehr was bedeutet! Sagst du's mir? :-)

PS: Ich werd mich nochmal mit dem Ergebnis meiner Hausaufgabe melden...

danke, bandchef

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17.10.2009, 16:44

bandchef

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Ich hab das jetzt mal für diese Aufage so gemacht, wie es baphomet und tigerbine erklärt hat.

Ich hab euch ein Bild angehängt...

danke, bandchef

17.10.2009, 17:04

Bakatan

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q.e.d. ist quod erat demonstrandum, "was zu beweisen war". Oft macht man auch einfach nur ein kleines quadrat ans Ende.
Was hast du da bei deinem Induktionsschluss getan?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}+\text{???} \end{eqnarray*}$
Sicherlich nicht n+1.

17.10.2009, 17:11

bandchef

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ich hab aber doch $\begin{eqnarray*} +n+1 \end{eqnarray*}$ hingeschrieben und nach dem = hab ich das hingeschrieben, was dem Summenzeichen "gleich" ist, also $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und da dahinter $\begin{eqnarray*} +n+1 \end{eqnarray*}$ . Ich seh den Fehler nicht...

17.10.2009, 17:26

Bakatan

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also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^2\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^1\frac{1}{k(k+1)}+1+1=\sum_{k=1}^0\frac{1}{k(k+1)}+0+1+1+1=3 \end{eqnarray*}$ ?? Kann nicht sein oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich denke, du hast baphomets "Beispiel" zu wörtlich genommen.
Denn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}n=\sum_{k=1}^{n}(n)+n+1 \end{eqnarray*}$
Aber bei dir kannst du deshalb nicht auch einfach +n+1 schreiben...
Er hat angewendet, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}n=1+2+3+...+(n-1)+n+(n+1)=\sum_{k=1}^{n}(n)+(n+1) \end{eqnarray*}$

edit: Bei dir ist aber
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\text{???} \end{eqnarray*}$

17.10.2009, 17:48

bandchef

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Kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ raus?

17.10.2009, 17:57

bandchef

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sorry diese antwort hier war unnütz :-)

17.10.2009, 18:16

bandchef

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wenn ich in die linke seite meiner ausgangsaufgabe für k "2" einsetze dann kommt 1/6 raus. wenn ich in die rechte meiner ausgangsaufgabe für n "2" einsetze dann kommt 2/3 raus. es sollte aber doch das gleich rauskommen, oder?

ich glaub ich habs immer nocht nicht verstanden

17.10.2009, 18:26

Bakatan

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Rechne nochmal nach. Es kommt auf beiden Seiten dasselbe heraus.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$
Bedenke immer die Bedeutung des Summenzeichens:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}a_k \end{eqnarray*}$ bedeutet:
Start beim k=1: also $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ . k hat noch nicht n erreicht, also +, k wird um eins erhöht.
Nächster Schritt: k=2: $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ . k hat noch nicht n erreicht, also +, k wird um eins erhöht.
Und so weiter und so weiter. So konstruiere ich zumindest Summen in meinem Kopf.
Am Ende kommt dann heraus: $\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n \end{eqnarray*}$
Bei dir ist $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$ . Wenn du n um eins verminderst im Summenzeichen, fällt der letzte Term eben raus. Folglich musst du, um Gleichheit zu gewähren, ihn eben explizit addieren.

17.10.2009, 18:33

bandchef

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Wie kommst du auf den letzten Teil von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ ? Gemeint ist das: $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ ... Wo setzt du da genau was ein?

Warum schreibst $\begin{eqnarray*} a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n \end{eqnarray*}$ ? a wird doch immer größer und somit verstehe ich nicht warum du n-1 rechnest...

17.10.2009, 18:55

Bakatan

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a wird immer größer? Wieso das denn? Abgesehen davon selbst wenn, na und? Wo rechne ich n-1? Vielleicht meinst du den Index (n-1)? Es war nur ein allgemeines Beispiel.
Rechnen wir mal ein einfacheres Beispiel mit Zahlen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Können wir uns darauf einigen?
Dementsprechend ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4\frac{1}{k}+\frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
oder nicht?
Jetzt bauen wir das ganze allgemein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
Soweit verständlich?
Jetzt ersetze ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ mit dem Term aus deinem Summenzeichen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}&=&\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}\\&=&\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

17.10.2009, 19:55

bandchef

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}\\=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

und wie geht's da jetzt weiter?

So in etwa:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}&=&\frac{1}{1(1+1)}+\frac{1}{2(2+1)}+...+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}\\&=&\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich wahrscheinlich die Brüche nur noch auf einen Nenner bringen und zusammenfassen, oder?

bandchef

17.10.2009, 22:27

Bakatan

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Die Latex-Zeilen werden immer länger. Meine war schon fast zu lang, deine ist noch länger Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Forum hier hat nen Bug, dass es Latex-Zeilen nicht trennt, d.h. sie ragen dann ewig aus dem Bildschirmrand hinaus.
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$
Ist schonmal gut.
Zwischenfrage: Welches Ergebnis willst du eigentlich erhalten? Gleich dazu: wie sieht es dann aus nach dem zusammenfassen?

18.10.2009, 13:32

bandchef

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Sorry, das mit den Latexzellen wusste ich nicht. Wahrscheinlich dadurch weil ich einen 23"-Monitor hab und ich rechts immer noch genügend Platz habe... :-)

Mein Ergebnis würde jetzt so lauten nach dem ich den Term zusammengefasst habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

18.10.2009, 14:36

bandchef

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Ich hab gleich noch eine Frage zu einem anderen Bespiel:

Wenn ich für n die Zahl 3 einsetze, dann bekomme ich als Ergebnis für diese Formel $\begin{eqnarray*} A(n)=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ 6.

Wenn ich aber das gleiche n in die bewiesene Formel $\begin{eqnarray*} A(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$ nach der Induktion einsetze, dann bekomme ich 10. Sollte da nicht eigentlich das gleiche Ergebnis rauskommen?

Ich mein es heißt ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n=\frac{n(n+1)}{2}=>\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^n+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Also müsste es doch egal sein wo ich die 3 einsetze entweder in $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

18.10.2009, 15:04

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von bandchef
Ich hab gleich noch eine Frage zu einem anderen Bespiel:

Wenn ich für n die Zahl 3 einsetze, dann bekomme ich als Ergebnis für diese Formel $\begin{eqnarray*} A(n)=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ 6.

Wenn ich aber das gleiche n in die bewiesene Formel $\begin{eqnarray*} A(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$ nach der Induktion einsetze, dann bekomme ich 10. Sollte da nicht eigentlich das gleiche Ergebnis rauskommen?

Nein, sollte es natürlich nicht. Du beweist ja nicht die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} A(n+1) = A(n) \end{eqnarray*}$ die gilt natürlich im allgemeinen nicht. Du beweist nur, dass aus einer Aussage, die für n gilt, diese dann auch für n+1 gilt.

$\begin{eqnarray*} A(n+1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n = 3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A(4) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} A(4) = \frac{4(4+1)}{2} = 10 \neq A(n)~\text{für } n = 3 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} A(3) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bandchef
Ich mein es heißt ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n=\frac{n(n+1)}{2}=>\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^n k+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

(Hab mal den Tippfehler verbessert)

Das stimmt, was du da schreibst. Aber entscheidend ist, dass dort wo der Folgepfeil steht, eben ein Folgepfeil steht und kein Gleichheitszeichen.
Es steht da, dass aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

das hier folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k= \frac{(n+1)(n+2)}{2} = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Aber es steht NICHT dort, dass beides gleich ist, also

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \neq \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 17:04

Bakatan

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Zitat:

Original von bandchef
Sorry, das mit den Latexzellen wusste ich nicht. Wahrscheinlich dadurch weil ich einen 23"-Monitor hab und ich rechts immer noch genügend Platz habe... :-)

Mein Ergebnis würde jetzt so lauten nach dem ich den Term zusammengefasst habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

Forumsposts haben, wenn man nur Text schreibt, eine Standardgröße. Diese soltle man so wenig wie möglich mit dem LAtex-Bug übertreten. Mein Bildschirm ist auch noch dafür groß genug, aber ich muss extra das Browserfenster größer machen, da nicht einmal eine Scrollleiste generiert wird ( eben ein Bug ). Normal will ich aber mehrere Fenster nebeneinander haben, falls ich für einen Post den Anhang als Bild nebenher habe oder gleichzeitig etwas anderes mache oder sonst irgendwas. Das Matheboard skaliert eben dann nicht mehr normal...

Zur eigentlichen Aufgabe: Nochmal, diesmal fett:
Was willst du eigentlich als Ergebnis haben?
Anders formuliert: bei welchem Ergebnis kannst du sagen: ok, Induktionsschritt fertig, Formel stimmt?
Du hast einfach alles zusammengefasst, aber das hilft dir nicht weiter. Bedenke: du willst gerade zeigen, dass wenn die Formel für n gilt ( die Umformung hast du ja bereits getan ), dass sie dann auch für n+1 gilt. Was muss dementsprechend am Ende stehen? ( Und das kommt auch heraus... )

18.10.2009, 18:52

kiste

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Zitat:

Original von Bakatan
Forumsposts haben, wenn man nur Text schreibt, eine Standardgröße. Diese soltle man so wenig wie möglich mit dem LAtex-Bug übertreten.

Völlig richtig. Dann halt dich auch selbst daran Big Laugh

Big Laugh

Ich hab mal die Posts von dir und bandchef dementsprechend angepasst smile

smile

18.10.2009, 19:00

Bakatan

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Zitat:

Original von Bakatan:
Meine war schon fast zu lang, deine ist noch länger Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich muss das "fast" wohl revidieren Big Laugh

Big Laugh

Es sah bloß auf meinem Bildschirm noch gut aus, überschritt aber sehr wohl bereits die Standardlänge.
Danke fürs edit.

18.10.2009, 21:30

bandchef

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Zur Frage von Bakatan:

Ich soll beweisen dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.
Das soll das Ergebnis sein.

Zitat:

Anders formuliert: bei welchem Ergebnis kannst du sagen: ok, Induktionsschritt fertig, Formel stimmt?

Ja kannst du mir sagen, welche Formel das jetzt nun endlich ist? Bei anderen Beispielaufgaben die wir in der FH gerechnet haben, wars nach dem zusammenfassen Schluss. Ich hab ja bei meiner Hausaufgabe alles zusammengefasst, wie ich schon ausgerechnet hab -> $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ Deswegen denke ich, dass die Aufgabe eben so fertig ist, oder?

bandchef

18.10.2009, 21:42

Bakatan

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Gehen wir es nochmal der Kette nach durch:
Du zeigst eine Formel für 1
Dann zeigst du, dass die Formel, falls sie für n gilt sie ebenfalls für n+1 gilt.
Also muss zwangsläufig
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{(n+1)+1}=1-\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$
gelten. Jetzt form also mal dein Ergebnis so um, dass man das auch erkennt...

18.10.2009, 21:58

bandchef

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stimmt jetzt das hier: $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch das was ich die ganze zeit wissen will? und wenn ja was kann ich da noch weiterumforem?

danke, bandchef

18.10.2009, 22:07

Bakatan

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Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Stimmt. Aber das kannst du auch relativ schnell sehen, da eben genau das rauskommt, was rauskommen sollte:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{(n+1)(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\text{???} \end{eqnarray*}$
Du willst doch gerade haben, dass die Formel für n+1 hier erscheint. Denn du bist gerade am zeigen, dass die Formel für n+1 gilt, wenn sie für n bereits bewiesen ist. Die Voraussetzung hast du bereits angewandt, jetzt muss also das passende erscheinen. Denn dann hast du:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}\overset{\text{Gilt für n}}{\Rightarrow}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$
Und es eben bereits für 1 gezeigt. Damit ist die Menge der Zahlen, für die diese Formel gibt dasselbe wie N. Also gilt es für alle n aus N.

18.10.2009, 22:15

bandchef

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$\begin{eqnarray*} 1-\frac{(n+1)(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\text{???} \end{eqnarray*}$

muss da beim zwischen dem produkt der beiden klammern und der letzten klammer aufm bruchstrich nicht ein pluszeichen hin?

Wie kann man das noch weiter zusammenfassen?

19.10.2009, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Mein Ergebnis würde jetzt so lauten nach dem ich den Term zusammengefasst habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

unglücklich

Das ist zwar richtig, aber völlig überdimensioniert. Bei der Umformung von

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

brauchst du nur die beiden Brüche zusammenfassen. Die 1 vornedran kannst du stehen lassen. Die wird ja auch in dem Ergebnis benötigt. Obendrein bist du auch nicht sehr geschickt bei der Wahl eines passenden Hauptnenners.

19.10.2009, 14:33

bandchef

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@klarsoweit:

Gut, dass ich die 1 stehen hätte lassen können ist mir jetzt auch schon aufgefallen. Aber dann hab ich immer noch da Problem der beiden anderen Brüche. Was soll den da der passende Hauptnenner sein? Ich schätze mal (n+1)(n+2), oder?

Wenn ich dann mit diesem Hauptnenner noch zusammenfasse, dann passt das Ergebnis?

danke, bandchef

19.10.2009, 14:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Was soll den da der passende Hauptnenner sein? Ich schätze mal (n+1)(n+2), oder?

Das drängt sich förmlich auf. smile

smile

Zitat:

Original von bandchef
Wenn ich dann mit diesem Hauptnenner noch zusammenfasse, dann passt das Ergebnis?

Es sollte dann ein passendes Ergebnis rauskommen.

19.10.2009, 16:29

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bandchef
muss da beim zwischen dem produkt der beiden klammern und der letzten klammer aufm bruchstrich nicht ein pluszeichen hin?

Nein. $\begin{eqnarray*} \frac{a-b+c}{a}=1+\left(\frac{-b+c}{a}\right)=1-\left(\frac{b-c}{a}\right) \end{eqnarray*}$

19.10.2009, 17:15

bandchef

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Hi!

Damit ich das jetzt auch richtig verstehe nochmal:

Ich hab jetzt bei mir auf dem blatt das stehen:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\text{???} \end{eqnarray*}$

Wenn man da nun das Minus das ganz am Anfang des Zählers steht runterzieht, also zwischen die eins und dem Bruch, ändert sich das Plus im Zähler zu einem Minus? Aber warum? Damit es sich ändert, müsste doch eigentlich um die ganzen Klammern am Zähler noch eine große Klammer rumsein, oder?

danke, bandchef

19.10.2009, 17:51

Bakatan

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$\begin{eqnarray*} 1+\frac{-b+c}{a}=1+\frac{-b}{a}+\frac{c}{a}=1+\left(-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)=1-\left(\frac{b}{a}-\frac{c}{a}\right)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{b-c}{a}\right)=1-\frac{b-c}{a} \end{eqnarray*}$
edit: oder anders gesagt: der Bruchstrich steht für 1+(-b+c)/a und ich klammere (-1) aus.

19.10.2009, 19:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Ich hab jetzt bei mir auf dem blatt das stehen:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{-(n+1)(n+2)+(n+1)}{(n+1)(n+1)(n+2)}=\text{???} \end{eqnarray*}$

Warum machst du es dir bloß so schwer? verwirrt

verwirrt

Wolltest du nicht den Hauptnenner (n+1)(n+2) nehmen?

19.10.2009, 21:07

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leute!

Ich habe fertig... *lach*

Ich denke, ich hab jetzt das endgültige Ergebnis nämlich: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Ich hab's jetzt endlich vollständig gerafft. Danke an euch und eure geleistete Arbeit! Auf das, dass man ja -1 ausklammern kann, wär ich in hundert Jahren nicht gekommen (wie man so schön sagt...)

danke, bandchef

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