Kurvenintegrale

17.10.2009, 16:24

earthie

Kurvenintegrale

Hallo zusammen.

Neues Semester, neues Glück - diesmal Funktionentheorie und die Berechnung von Kurvenintegralen.
Brauche Hilfe, weil so ganz durchschaut hab ich die Sache trotz Internetrecherche noch nicht.

f: W->C ist holomorph , y: [a,b]->W eine glatte geschlossene Kurve.
zeige: folgendes Integral ist rein imaginär.
$\begin{eqnarray*} \int_{y}^{}~\overline{f(z)}f'(z)~dz \end{eqnarray*}$

Also. Mit der Kettenregel komme ich mal soweit, dass das ganze umgeformt werden kann in:
$\begin{eqnarray*} \int_{f*y}^{}~\overline{w}~dw \end{eqnarray*}$

1) darf ich, weil y geschlossen und glatt ist, immer eine (orientierungserhalende) Parametrisierung wählen wie z.B. y(t)=R*e^(2*pi*i*t)?
2) welche Regeln gelten, wenn ich über f(y(t)) integriere?
3) und wie mach ich bei dieser Aufgabe weiter? smile

danke für eure Hilfe.

17.10.2009, 18:00

Leopold

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Die Substitutionsregel ist eine Regel für die reelle Analysis. Ins Komplexe läßt sie sich nicht so ohne weiteres übertragen.

Wenn man kanonisch

$\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i} y \, , \ \ f = u + \operatorname{i} v \end{eqnarray*}$

schreibt, und $\begin{eqnarray*} u_x,u_y,v_x,v_y \end{eqnarray*}$ für die partiellen Ableitungen, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \bar{f} \cdot f' ~ \mathrm{d}z = \left( u - \operatorname{i} v \right) \left( u_x + \operatorname{i} v_x \right)~\left( \mathrm{d}x + \operatorname{i} \mathrm{d}y \right) \end{eqnarray*}$

Und wenn man das ausmultipliziert und nach Real- und Imaginärteil trennt, bekommt man für den Realteil die Differentialform

$\begin{eqnarray*} \omega = \left( uu_x + vv_x \right)~\mathrm{d}x - \left( uv_x - vu_x \right)~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

Jetzt verwendet man in der zweiten Klammer die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sieht relativ leicht eine Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}F = \omega \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist exakt.

18.10.2009, 10:32

earthie

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danke für deinen rechnerischen Ansatz, aber Verständnisprobleme löst das bei mir leider noch keine. Für dieses Beispiel habe ich weitergerechnet:

kanonische Definitionen einsetzen das klappt.

für F mit dF=w bekomme ich $\begin{eqnarray*} F= \frac{u^{2}+v^{2}}{2} \end{eqnarray*}$ , soweit ok?

aber warum ist $\begin{eqnarray*} \int_{y}^{}~w~ = \left[F\right]_{y}^{} = 0 \end{eqnarray*}$ ?

18.10.2009, 13:42

earthie

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kann mir da jemand helfen? Gott

18.10.2009, 16:34

Leopold

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Ja, $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stimmt: $\begin{eqnarray*} F = \frac{1}{2} \left( u^2 + v^2 \right) = \frac{1}{2} \left| f \right|^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von earthie
aber warum ist $\begin{eqnarray*} \int_{y}^{}~w~ = \left[F\right]_{y}^{} = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zunächst einmal stört hier $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Das Ding heißt $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (gamma) - so viel Zeit muß sein! Und dann muß es auch $\begin{eqnarray*} \left[ F \right]_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} \end{eqnarray*}$ heißen und nicht einfach $\begin{eqnarray*} [F]_{\gamma} \end{eqnarray*}$ . Was sollte denn das auch bedeuten?

Und jetzt ist die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ als geschlossen vorausgesetzt, d.h. $\begin{eqnarray*} \gamma(a) = \gamma(b) = z_0 \cong (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ .

Und noch etwas: Es heißt auch $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (omega) und nicht einfach $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ (we).

18.10.2009, 23:24

earthie

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für dich hab ich sogar gegooglet, wie man $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ schreibt, nicht dass mir nochmal so ein lausiges $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ in eine Formel rutscht Freude

Danke auf jeden Fall schonmal,

eine Frage wurde noch nicht beantwortet:

Zitat:

darf ich, weil y geschlossen und glatt ist, immer eine (orientierungserhalende) Parametrisierung wählen wie z.B. y(t)=R*e^(2*pi*i*t)?

kann mir da jemand helfen?

19.10.2009, 14:26

system-agent

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Nein, das darfst du nicht. Dein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hier ist ein Kreis, aber wer sagt dir denn, dass die in der Aufgabe betrachtete Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auch ein Kreis ist? Du weisst nur aus der Aufgabe, dass die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \gamma: [a,b]\to W \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist und es gilt $\begin{eqnarray*} \gamma(a)=\gamma(b) \end{eqnarray*}$ .

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