Bosch Aufg. 4.1.4

17.10.2009, 16:28	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bosch Aufg. 4.1.4 Sei $\begin{eqnarray} L = K(x_i \| i\in \mathbb Z) \end{eqnarray}$ der Quotientenkörper in unendlich vielen Variablen. Benutzt man die universelle Eigenschaft der zugehörigen Polynomrings $\begin{eqnarray} L = K[x_i \| i\in \mathbb Z] \end{eqnarray}$ so sieht man dass $\begin{eqnarray} \sigma : x_i \mapsto x_{i+1} \end{eqnarray}$ einen Endomorphismus auf $\begin{eqnarray} K[x_i \| i\in \mathbb Z] \end{eqnarray}$ definiert. $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist offensichtlich bijektiv, ist also ein Automorphismus. Dieser lässt sich auf den Quotientenkörper $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ in natürlicher Weise ausdehnen. Es gilt also $\begin{eqnarray} G := \langle \sigma \rangle \leq \mathrm{Aut}(L) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} x \in L \end{eqnarray}$ invariant unter $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nur eine endliche Linearkombination der Basisvektoren sein kann, muss bereits $\begin{eqnarray} x\in K \end{eqnarray}$ gelten. Also ist $\begin{eqnarray} L^G = K \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ ist nicht algebraisch und damit auch nicht galoissch.

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