Bosch Aufg. 4.1.6

17.10.2009, 17:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bosch Aufg. 4.1.6 Sei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E:= K(\alpha) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ abelsch ist $\begin{eqnarray} G(L/E) \triangleleft G(L/K) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} E/K \end{eqnarray}$ galoissch. Damit insbesondere auch normal, d.h. das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu_\alpha \end{eqnarray}$ zerfällt über $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irreduzibel und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f = c\mu_\alpha \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c\in K \end{eqnarray}$ . Die Nullstellenmenge ist also gleich. Damit gilt aber bereits $\begin{eqnarray} E=L \end{eqnarray}$ auf Grund der Definition eines Zerfällungskörpers

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