Beweis Produkt

17.10.2009, 17:19

RS

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Beweis Produkt

beweisen sie die folgende aussage: seien z1,...,zk natürliche zahlen, die alle größer 1 sind. dann wird z1*z2*z3*...*zk+1 von keinem der zi geteilt.

leider hab ich hier mal überhaupt gar keine ahnung wo ich wie ansetzen muss. wäre nett wenn ihr mir nen ansatz geben könntet.

17.10.2009, 18:33

Elvis

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Beweis durch Widerspruch.
Annahme (o.B.d.A.) $\begin{eqnarray*} z_1|\prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$ .
Was heißt das ? (Definition der Teilbarkeit) . Was folgt daraus ? (Ein Ding der Unmöglichkeit) . Schlußfolgerung: Annahme ist falsch. Schlußfolgerung: Behauptung ist richtig.

17.10.2009, 18:36

Elvis

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Anmerkung. Die Aussage hat Euklid benutzt, um zu zeigen, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Der Beweis kann doch nach über 2000 Jahren nicht mehr so schwer sein, oder ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2009, 19:12

RS

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na das hieße, dsas $\begin{eqnarray*} z_{1}, \prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$ teilt ohne das ein rest entsteht. aber wie sieht das denn bitte mathematisch aus? formeln und bla. ich weiß ncih obs an der uhrzeit liegt aber ich verstehe halt nicht wie ich jetzt weiter verfahren muss... muss ich jetzt einfach ein beispiel einsetzen und beweisen dass z.b. 2*3*4+1 nicht durch 3 teilbar ist ohne das ein rest entsteht?

17.10.2009, 19:29

Elvis

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nee, nix rest, sondern teilbarkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a|b \Leftrightarrow \exists c : a \cdot c=b \end{eqnarray*}$

17.10.2009, 20:15

RS

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hieße also $\begin{eqnarray*} z_{1}\cdot c=\prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$ sprich c müsste jetzt $\begin{eqnarray*} \prod_{i=2}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$ sein oder? was nun?

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18.10.2009, 09:16

Elvis

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Deine Vermutung über c ist voll daneben. böse

böse

Jetzt die Gleichung nach 1 auflösen.

19.10.2009, 16:47

RS

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ich meld mich hier nochmal zurück!

Ich nehme also an, dass gilt: $\begin{eqnarray*} \forall z_{i}\in \mathbb N , \forall z_{i}>1 : z_{i} \mid \prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$

Also nehmen wir an, dass gilt: $\begin{eqnarray*} z_{i}\mid\prod_{i=1}^k~z_i +1\Leftrightarrow z_{i}\cdot c=z_{i}\cdot\frac{\prod_{i=1}^k~z_i}{z_i}+1 \end{eqnarray*}$ Das Produkt aller z_i ist durch z_i teilbar, da aber $\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ per Definition >1 ist, gilt in keinem Fall $\begin{eqnarray*} z_i | 1 \end{eqnarray*}$ .

Damit gilt nie: $\begin{eqnarray*} \forall z_{i}\in \mathbb N , \forall z_{i}>1 : z_{i} \mid \prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$

Ist dem ganzen damit genüge getan?

19.10.2009, 18:46

Elvis

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Das ist kein Beweis, sondern grober Unfug. Wenn du dir helfen lassen möchtest, mach das, was ich vorschlage. Wenn nicht, lass es bleiben.

19.10.2009, 19:16

RS

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Zitat:

Original von Elvis
nee, nix rest, sondern teilbarkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a|b \Leftrightarrow \exists c : a \cdot c=b \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Elvis
Beweis durch Widerspruch.
Annahme (o.B.d.A.) $\begin{eqnarray*} z_1|\prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$ .

also annahme, dass gilt: $\begin{eqnarray*} z_1\cdot c=\prod_{i=1}^k~z_i +1 \end{eqnarray*}$ oder?

19.10.2009, 19:25

Elvis

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Ja, und jetzt BITTE diese Gleichung nach 1 auflösen.

19.10.2009, 19:49

RS

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Zitat:

Original von Elvis
Deine Vermutung über c ist voll daneben. böse

böse

Jetzt die Gleichung nach 1 auflösen.

haha ich dachte das warn scherz weil ich "c" so verkackt hatte ^^. sry für das missverständnis.

also $\begin{eqnarray*} (z_1\cdot c)-\prod_{i=1}^k~z_i= 1 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt sicherlich was aus der definition z1 bzw. zi>1 folgern oder? aber was^^

19.10.2009, 19:52

Elvis

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Wir werden uns langsam einig. Was soll aber bitte die Klammer um $\begin{eqnarray*} z_1\cdot c \end{eqnarray*}$ , nach üblicher Konvention geht "Punktrechnung vor Strichrechnung". Die Klammer verbaut dir die Sicht auf das Wesentliche !

19.10.2009, 20:05

RS

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$\begin{eqnarray*} z_1\cdot c-\prod_{i=1}^k~z_i= 1 \end{eqnarray*}$ . ich blicks halt irgendwie trotzdem nicht. gibts noch ein weiteren tipp oder steh ich direkt vor der lösung?

19.10.2009, 20:09

Elvis

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Zwei Tipps noch, hier der erste: $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ ausklammern.

19.10.2009, 20:26

RS

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$\begin{eqnarray*} z_1(c-\prod_{i=2}^k z_i)=1 \end{eqnarray*}$

\edit. Das hieße dass 1 durch z1 teilbar wäre, da z1 aber per Definition >1 sein muss, ist 1 unter der Prämisse des gültigkeitsbereichs der natürlichen Zahlen nicht durch z1 teilbar. oder?

20.10.2009, 19:12

Elvis

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Ja, genau.
Folgerung (von Euklid): Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Sonst nennen wir die endlich vielen Primzahlen $\begin{eqnarray*} z_1,...,z_k \end{eqnarray*}$ und bilden damit $\begin{eqnarray*} P=\prod_{i=1}^k~z_i+1 \end{eqnarray*}$ . Du hast bewiesen $\begin{eqnarray*} \forall i=1,...,k : z_i \not|P \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ eine (weitere) Primzahl.

Gut gemacht, weiter so, dann wirst du eines Tages berühmt. Freude

Freude

20.10.2009, 19:24

RS

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das mit den unendlichen primzahlen ist übrigens die nächste teilaufgabe^^ die ich seltsamer weise schon gelöst habe^^ manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht...

20.10.2009, 19:30

Elvis

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Alles Übungssache mit den Bäumen und dem Wald. Ich hatte 3 mal so lange Zeit zum Üben wie du - und irgendwann kennt man die Standardtricks. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2009, 20:06

RS

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^^ danke erstmal. Freude

Freude

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