Bosch Aufg. 4.1.10

17.10.2009, 17:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bosch Aufg. 4.1.10 Gelte $\begin{eqnarray} \sigma(L_1) = L_2 \end{eqnarray}$ : Es gilt: $\begin{eqnarray} \sigma(\alpha) = \sigma(\tau (\alpha)) = \sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} (\sigma(\alpha)) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha \in L_1, \tau\in H_1 \end{eqnarray}$ . Damit gilt also dass $\begin{eqnarray} \sigma H_1 \sigma^{-1} \subset H_2 \end{eqnarray}$ . Aus Ordnungsgründen folgt $\begin{eqnarray} \sigma H_1 \sigma^{-1} = H_2 \end{eqnarray}$ (alternativ dasselbe Argument mit $\begin{eqnarray} \sigma^{-1} : L_2 \to L_1 \end{eqnarray}$ ) Gelte $\begin{eqnarray} \sigma H_1\sigma^{-1} = H_2 \end{eqnarray}$ : Sei $\begin{eqnarray} \alpha \in L_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tau \in H_2 \end{eqnarray}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} \phi\in H_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sigma \circ \phi \circ \sigma^{-1} = \tau \end{eqnarray}$ . Es ist: $\begin{eqnarray} \tau(\sigma(\alpha)) = \sigma \circ \phi \circ \sigma^{-1}(\sigma(\alpha)) = \sigma \circ \phi (\alpha) = \sigma (\alpha) \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} \phi(\alpha) \in L^{H_2} = L_2 \end{eqnarray}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray} \sigma(L_1) \subset L_2 \end{eqnarray}$ und damit die Behauptung.

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