Finde keinen Lösungsweg (ungleichung mit Binomialkoeffizenten) !

17.10.2009, 17:48

Wuba

Finde keinen Lösungsweg (ungleichung mit Binomialkoeffizenten) !

Hallo erstmal , liebe Matheboard user,

Ich habe dieses Semester angefangne Mathe zu studieren.
Wir müssen nach den Vorlesungen immer Übungsaufgaben lösen.
Nun hänge ich aber seit 2 Tagen an der 2ten von 4 Aufgaben.

Teil a) der aufgabe war zu Beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} wenn n \geq 0 , dann \\ \sum_{k=0}^n~ \binom{n}{k} = 2^n \end{eqnarray*}$

Welches ich durch vollst. Induktion bewiesen habe. Es hat zwar etwas gedauert, bis ich es hatte, doch letztendlich hat das ganze dann funktioniert.

Nun zu meiner Frage: Teil b) geht wie folgt:

$\begin{eqnarray*} Es ~seien ~r ~und ~s ~\in ~\mathbb N \\ mit ~2 ~\leq ~s ~\leq ~r ~. ~Dann ~gilt \\ \\ \frac{\binom {r}{s}}{r^s} \leq \frac {1}{2^{s-1}} \end{eqnarray*}$

Ich wäre über einen (starken) Denkanstoß sehr erfreut.

Hier mal meine bisherigen Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} s \geq 2 \Rightarrow 2^{s-1} \geq 2 \Rightarrow \frac{1}{2^{s-1}} \leq \frac{1}{2} \\ \\ desweiteren \frac{\binom{r}{s}}{r^s} \leq \frac{1}{2^{s-1}} \\ \Rightarrow 2^{s-1} \leq \frac{r^s}{\binom{r}{s}} \end{eqnarray*}$

Das hilft mir aber alles noch nicht so ganz weiter.

Dann habe ich mir die Terme mal als Funktionen angeguckt.
Ich habe s=2 gesetzt und dann "festgestellt" das der rechte Term (logischerweise) die gerade y = 1/2 darstellt und sich der linke Term Asymptotisch an diese Gerade annähert.

Wenn ich s=3 setzte dann nähert sich der linke Term dem ganzen(y=1/4) schon nichtmal mehr Ansatzweise an.

Mir ist also klar worum es geht, aber mir fehlt irgendwie die Idee, wie ich das ganze jetzt Beweisen soll, bzw. wobei ich bei der Beweisführung hinaus muss.

Ich hoffe mir kann jemand helfen,
danke im Vorraus

mfG
Wuba

17.10.2009, 18:31

Wuba

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So, ich kann das Thema leider nicht mehr editieren, deshalb hier noch ein Zusatz.

Erstens:
In Teil a) heisst das natürlich nicht "wennn..." sondern "wenn n ..."

Zweitens:
hilft mir folgende überlegung?

ich habe ja

$\begin{eqnarray*} 2^{s-1} ~\leq ~\frac{r^s}{\binom{r}{s}} \end{eqnarray*}$

dann weiss ich ja wegen $\begin{eqnarray*} 2~\leq~s~\leq~r \end{eqnarray*}$ ,dass

$\begin{eqnarray*} 2^{s-1}~\leq~r^s \end{eqnarray*}$ ist.

Aber wie bekomme ich dann da rein, dass das Dividieren durch [latex]\binom{r}{s}[/latex) dann die wahrheit der aussage nicht verändert ?

Viel zu kompliziert Big Laugh

17.10.2009, 19:39

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Zitat:

Original von Wuba
Viel zu kompliziert Big Laugh

In der Tat, viel zu kompliziert gedacht.

Schreib doch mal den Binomoalkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{r}{s} \end{eqnarray*}$ ausführlich auf:

$\begin{eqnarray*} \binom{r}{s} = \frac{r \cdot (r-1) \cdot \ldots \cdot (r-s+1)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot s} \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du jeden Faktor im Zähler nach oben durch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abschätzen, und jeden Faktor im Nenner mit Ausnahme der 1 nach unten durch ...

17.10.2009, 20:06

Wuba

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Wenn du mir vllt. noch sagen könntest, ab welchem Punkt ich zu kompliziert gedacht habe !?

Das Ausschreiben des Binomialkoeffizienten ist mir zwar klar, aber was meinst du mit nach oben und unten Abschätzen ?

Das ich es dann in meine bei "Zweitens" beschriebene ungleichung einsetzen kann ?

Ist mir noch nicht ganz klar, aber danke schonmal...

17.10.2009, 20:29

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$\begin{eqnarray*} \mbox{Zähler:}\quad r \cdot (r-1) \cdot \ldots \cdot (r-s+1) \leq \overbrace{r \cdot r \cdot \ldots \cdot r}^{s\mbox{-mal}} = r^s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{Nenner:}\quad 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot s \geq 1\cdot \underbrace{2\cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{(s-1)\mbox{-mal}} = 2^{s-1} \end{eqnarray*}$

Es folgt dann direkt die Behauptung $\begin{eqnarray*} \binom{r}{s} \leq \frac{r^s}{2^{s-1}} \end{eqnarray*}$ .

17.10.2009, 20:53

Wuba

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Ah, ich verstehe. Vielen Dank.

Ich hoffe ich hab halt soviel erfahrung, dass ich so einfache Lösungswege nicht immer übersehe. Das nervt an der Mathematik auch am meisten, dass alles so einfach ist, wenn man den Lösungsweg kennt Big Laugh

17.10.2009, 20:56

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Es wäre schon ein Fortschritt, wenn du Tipps wie

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann kannst du jeden Faktor im Zähler nach oben durch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abschätzen, und jeden Faktor im Nenner mit Ausnahme der 1 nach unten durch ...

wirklich durchdenkst, statt sofort aufzugeben und weiter zu fragen.

17.10.2009, 21:20

Wuba

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Selbst jetzt wo ich die Lösung habe versteh ich den Tipp (von der Ausdrucksweise her) iimmer noch nicht traurig

18.10.2009, 11:48

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Das Board hier ist kein Lexikon für Fachbegriffe. Selbst wenn du die sehr üblichen Ausdrücke "nach oben abschätzen" bzw. "nach unten abschätzen" nicht kennst, dann schlage sie doch nach (Google, Wikipedia, etc.) - soviel Selbständigkeit kann man doch im Hochschulbereich erwarten, oder etwa nicht?

18.10.2009, 12:41

Wuba

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Kann man, ja.

Ich entschuldige mich und gelobe besserung Augenzwinkern

Ich bitte dies auf meine "Neuheit" hier zu schieben :P

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