Primzahlen p>3

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17.10.2009, 21:03	Arvin87	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen p>3 Moiiin! Ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe: Zeige, dass für jede Primzahl p>3 gilt: 12\|(p²-1). Also ich bin bisher so vorgegangen: Zu zeigen: (p²-1) ist durch 12 teilbar, mit p Primzahl und p>3. (p²-1)=(p+1)(p-1) Da p Primzahl >3 ist p ungerade, somit sind (p-1) und (p+1) gerade Zahlen. Wie komme ich dann aber auf die Beh., dass es durch 12 teilbar ist?
17.10.2009, 21:18	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass $\begin{eqnarray} p^2-1 \end{eqnarray}$ durch 3 und durch 4 teilbar ist. Beachte dabei, dass jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist und dass jede dritte Zahl durch 3 teilbar ist.
17.10.2009, 23:17	Arvin87	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man dann sagen (p²-1)=(p+1)(p-1) ist durch 12 teilbar, wenn es durch 3 und durch 4 teilbar ist. p ist schnmal nicht durch 3 oder 4 teilbar, da p Primzahl >3 => p+1 oder p-1 sind es. p+1 und p-1 sind zwei gerade Zahlen und jede zweite gerade Zahl ist durch 4 teilbar, d.h. einer der beiden erfüllt die Bedingung. Ebenso ist jede 3. Zahl durch 3 teilbar, mit p-1,p,p+1 muss also eine der Zahlen durch 3 teilbar sein => 12\|(p²-1) Nur eine Frage: Warum genau betrachtet man dann "teilbar durch 3 und 4"? Könnte man 12 nicht in Primfaktoren zerlegen und sagen: 12=223 und sagen, dass p-1,p+1 beide durch 2 telbar sind und eine von denen auch durch 3, oder geht das so nicht?
17.10.2009, 23:21	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die 12 auch in Primfaktoren aufteilen, aber wozu die Mühe? Die Zerlegung dient ja nur dazu, das Problem handlicher zu machen, und das ist hier ja geschehen.
17.10.2009, 23:51	Arvin87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mein "Beweis" dann richtig bzw. schlüssig oder fehlt noch etwas?
17.10.2009, 23:54	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis ist im wesentlichen korrekt, wenngleich die Sonderrolle von p=2 und p=3 für meinen Geschmack zu wenig hervorgehoben ist. Im übrigen ist das wieder einmal eine Aufgabe, wo nur die sog. Carmichael-Funktion $\begin{eqnarray} \lambda(n) \end{eqnarray}$ für ein spezielles n, hier n=12, ausgewertet werden muss, was $\begin{eqnarray} \lambda(12)=2 \end{eqnarray}$ ergibt. Daraus folgt dann unmittelbar aufgrund der Eigenschaften dieser Funktion, dass $\begin{eqnarray} a^2 \equiv 1 \mod 12 \end{eqnarray}$ für jedes zu 12 teilerfremde ganze a. Insbesondere gilt dies also, wenn a eine Primzahl > 3 ist.
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18.10.2009, 00:12	Arvin87	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber p=2 und p=3 muss man doch gar net betrachten, da p>3 gilt.
18.10.2009, 00:15	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben deshalb muss man sie betrachten, da für sie einige Überlegungen nicht gelten...
18.10.2009, 09:47	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte eigentlich nur sagen, dass durch die Art der Argumentation deutlich werden sollte, warum man p=2 und p=3 aussschließen muss, aber bei nochmaligem Durchlesen deines Beweises muss ich zugeben, dass eh alles dazu dasteht, wenngleich etwas verstreut, und ich daher eindeutig zu streng war, sorry... Man könnte übrigens noch etwas schöner argumentieren, indem man sagt, Primzahlen p>3 sind prinzipiell von der Form $\begin{eqnarray} p=6k \pm 1 \end{eqnarray}$ und aufgrund von $\begin{eqnarray} p^2-1=(6k \pm 1)^2-1 = 36k^2 \pm 12k=12k(3k \pm 1) \end{eqnarray}$ sieht man sofort, dass sogar $\begin{eqnarray} 24 \mid p^2-1 \end{eqnarray}$ für alle Primzahlen $\begin{eqnarray} p>3 \end{eqnarray}$ gilt, was andererseits auch nicht weiter verwundert, da eben auch $\begin{eqnarray} \lambda(24)=2 \end{eqnarray}$ ist...
18.10.2009, 13:18	Arvin87	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, weiss nicht, ob ich jetzt einfach nicht sehen warum es gilt, aber warum, sieht man dann dass sogar 24 es teilt? An 12k würde ich jetzt sagen, dass es 12 teilt... wenn k=1 dann teilt 24 es doch net
18.10.2009, 13:34	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dir das Produkt $\begin{eqnarray} k(3k \pm 1) \end{eqnarray}$ genauer ansehen, denn das ist doch immer gerade, egal ob k gerade oder ungerade ist...

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