Beweisproblem

18.10.2009, 00:11

Tac

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Beweisproblem

Aufgabe 2.

Für n Element aus {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne ¯n die Menge der natürlichen Zahlen,
die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa ¯3 = {3, 10, 17, 24, 31, 38 . . .}.
Bezeichne K := {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6}. Zu ¯n, ¯m Element aus K existiert eine eindeutig bestimmte Zahl k Element aus {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} mit n + m Element aus ¯k.

Wir definierenn ¯n + ¯m := ¯k. Analog sei ¯n · ¯m definiert durch ¯n · ¯m := L, falls n · m Element aus L. Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen + und · die Körperaxiome (1.1)–(1.9) (mit K anstelle von R) erfüllt.
(Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.)
Aufgabe 3.

Zeigen Sie, dass auf dem Körper (K, +, ·) aus Aufgabe 2 keine Beziehung <
erklärt werden kann, so dass die Anordnungsaxiome (2.1)–(2.4) (mit K anstelle von R)
erfüllt sind.

Ich habe die 3. Aufgabe auch abgeschrieben, da diese auf die andere beruht.
Bei der Aufgabe 2 habe ich ein generelles Problem glaube ich. Da verstehe ich nämlich nicht wirklich was gemeint ist, vorallem was ist mit Division durch 7 mit Bezug auf 3=... gemeint? oder woher taucht das "m" auf?Und wie geht man sowas am besten an?!
Gruß Tac

18.10.2009, 09:38

Elvis

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Du sollst hier die Definition der Restklassen benutzen und die Körperaxiome für die wohldefinierten Operationen nachrechnen.

n,m,k,l sind Variable . Mich wundert allenfalls, wo L herkommt.
Für die Operationen schlage ich vor $\begin{eqnarray*} \overline n+\overline m:=\overline {n+m}, \overline n \cdot \overline m:=\overline {n \cdot m} \end{eqnarray*}$ .

Alles weitere sollte kein Problem mehr sein. smile

smile

18.10.2009, 11:57

Tac

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kann mir jemand diesen satz hier mal erklären? Ich verstehe den nicht wirklich..
"die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa ¯3 = {3, 10, 17, 24, 31, 38 . . .}. "
noch eine blöde Frage.. heißt ¯n = nicht n, also alles auser n?

wo is hier ein l? dachte ich hätte alle gelöscht und mit einem L ersetzt, weil das beim Kopieren nicht so sichtbar war.. sorry :P also l=L

hm.. wüsste nicht wie ich das jetzt machen soll..

18.10.2009, 12:59

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \overline n=\lbrace m\in \mathbb Z:m\equiv n \mod 7\rbrace \end{eqnarray*}$ ist eine Restklasse modulo 7 (mit der logischen Negation hat das überhaupt nichts zu tun). Die Restklassen modulo 7 mit geeigneter Addition und Multiplikation bilden einen endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7=\mathbb Z/7\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Es gibt genau 7 Restklassen modulo 7, nämlich $\begin{eqnarray*} \overline 0, ..., \overline 6 \end{eqnarray*}$ . Wie man mit diesen Restklassen rechnet, habe ich schon definiert.

Das geht genauso gut anstelle von 7 für jede Primzahl p : $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p= \mathbb Z /p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist dann ein Körper mit p Elementen.

Warum in deiner Aufgabe natürliche statt ganze Zahlen auftreten, ist mir schleierhaft, ich lasse es aber hier mal so durchgehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2009, 13:19

Tac

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hm.. warum kommt irgendwas mit "mod" dran, wenn ich das vorher noch nie gehört habe. Bin davon ausgegangen, dass das Zeichen auf den Zahlen die Negation sein muss, weil ich etwas anderes nicht kannte.
wofür steht eig. $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ , sorry, habs aber nirgends gefunden gerade.
kann mir jemand mit dem ansatz helfen? ich komme nicht drauf :/

18.10.2009, 13:39

Elvis

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$\begin{eqnarray*} m\equiv n\mod p\Leftrightarrow p|(m-n) \Leftrightarrow \exists d : p\cdot d=m-n \end{eqnarray*}$
Sprechweise: m ist kongruent n modulo p genau dann wenn p teilt m minus n genau dann wenn es ein d gibt mit p mal d gleich m minus n.

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18.10.2009, 13:42

Elvis

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In deiner Aufgabe ganz am Anfang steht doch ¯3 = {3, 10, 17, 24, 31, 38 . . .}, also ist das eine Menge. Eine solche Menge heißt Restklasse modulo 7.

18.10.2009, 13:58

Tac

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Also nur mal zum Überprüfen:
3:7=0,42, also 0 mit Rest
10:7=1,42 also 1 mit selbem Rest
17:7=2, 42
24:7=3,42
Also ist das immer eine Zahlenreihe, die durch die Division von 7 immer den selben Rest hat? Aber wraum steht vor dem = eine ¯3? heißt das dann 3 modulo 7 in diesem beispiel?

18.10.2009, 14:10

Elvis

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nein, es geht um ganzzahlige Division, also 3:7=0 Rest 3, 10:7=1 Rest 3, ...

18.10.2009, 14:14

Wuba

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Zitat:

Original von Tac
Also nur mal zum Überprüfen:
3:7=0,42, also 0 mit Rest
10:7=1,42 also 1 mit selbem Rest
17:7=2, 42
24:7=3,42
Also ist das immer eine Zahlenreihe, die durch die Division von 7 immer den selben Rest hat? Aber wraum steht vor dem = eine ¯3? heißt das dann 3 modulo 7 in diesem beispiel?

Was hälst du davon, dass der Rest immer 3 ist ?
(Hoffe, das war nicht zuviel verraten?)

Ich kann dir aus eigener Erfahrung sagen, dass es manchmal enorm hilft, einfach den Schritt vom Schlauch runterzugehen Big Laugh

Big Laugh

Hammer

Edit:da war jemand schneller, aber egal...

18.10.2009, 14:18

Elvis

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Die Intelligenz ist monoton abnehmend, die Bevölkerung monoton zunehmend. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2009, 14:20

Tac

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ok, dann habe ich wenigstens das jetzt verstanden, bin aber noch ein ganzes stück vom ziel entfernt und das seit einer ewigkeit..!
will mir jemand auf die sprünge helfen? ich werde die sache dann nachvollziehen müssen..

18.10.2009, 14:27

Elvis

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Du musst die Axiome nachrechnen. Ich gebe dir ein Beispiel, dann ist aber Schluß.

Addition kommutativ: $\begin{eqnarray*} \overline m+ \overline n=\overline{m+n} = \overline{n+m} = \overline n + \overline m \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf ? Definition in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ , Kommutativität der Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , Definition in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ .

18.10.2009, 14:32

Tac

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ich verstehe die aufgabenstellung irgendwie nicht.. was ist denn genau gefragt? was ist das ziel der aufgabe?
was muss am schluss da stehen, damit die aufgabe erfüllt ist?
... ich dreh duch-.-

18.10.2009, 14:35

Elvis

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Machst du Witze ? Du sollst die Körperaxiome (1.1)-(1.9) für den Restklassenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7 \end{eqnarray*}$ nachweisen.

18.10.2009, 14:45

Tac

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so die axiome1.1-1.9 sind im anhang, die ich zu beweisen habe
ich mache keine witze.. ich weiß nicht was ich da jetzt machen soll mit n, m

18.10.2009, 18:08

Elvis

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(1.2) habe ich dir gezeigt. Der Rest geht genau so einfach.

20.10.2009, 20:25

lilithilli1210

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Hi, habe diese Aufgabe auch als Übung zu einer AnalysisVL.
Habe Aufgabe 2 auch soweit gelöst, also alle Körperaxiome mittels einer Verknüpfungstafel gezeigt.
Mein Problem ist allerdings Aufgabe 3, ich habe hier keinen Ansatz, also weiß nicht wie ich anfangen muss um auf eine Lösung zu kommen.
Dass die Aussage in Aufgabe 3 stimmt ist mir soweit klar, also wenn ich das im Kopf durchgehe.
Könnte mir jemand dafür einen Tip geben, oder kurz erklären wo ich anfangen muss.

LG Lili

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