Alternierende Quersummen Verständnis

18.10.2009, 00:19

Seven90

Alternierende Quersummen Verständnis

Hallo

Ich habe ein Problem den ich verstehen die "funktionsweise" der Alternierenden Quersumme nicht

Eine Fomel habe ich gefunden $\begin{eqnarray*} AQ_k(z)=\sum_{l=0}^{n/k-1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{k-1}~10^i\cdot a_{i+k \cdot l} \end{eqnarray*}$
aus: olympiade-mathematik.de/pdf/teilb.pdf

weiß aber nicht was die einzelnen Zeichen k, z, l, i, a bedeuten

alternierenden k-Quersumme

a*10^0+b*10^1+c*10^3+d*10^4+e*10^5+f*10^6+....

alternierenden 1`er-Quersumme

f+e-d+c-b+a

alternierenden 2`er-Quersumme

(f+e*10)+(d+c*10)-(b+10*a)

alternierenden 3`er-Quersumme

(f+e*10+d*100)+(c+b*10)-a

alternierenden 4`er-Quersumme

(f+e*10+d*100+c*1000)+(b+a*10)-

alternierenden 4`er-Quersumme

(f+e*10+d*100+c*1000+b*10000)-a

alternierenden k-Quersumme

?

Kann mir jemand die Weiterführung erklären, ich glaube da muss denn noch ein paar mehr Buchstaben ranhängen?

EDIT von Calvin
LaTeX-Tags korrigiert

18.10.2009, 10:50

Mystic

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Warum in aller Welt versuchst du etwas rein theoretisch zu erklären, wo du offensichtlich, wie die indexfreie Notation mit a,b,c,d,... bezeugt, die allergrößten Schwierigkeiten damit hast und nicht an einem Beispiel???

Also nehmen wir z.B.

$\begin{eqnarray*} z=12312345678,\quad k=3 \end{eqnarray*}$

Dann musst du der Reihe nach bilden

$\begin{eqnarray*} z_0 =678 \end{eqnarray*}$ (d.h. die Zahl aus den letzten 3 Stellen)
$\begin{eqnarray*} z_1 =345 \end{eqnarray*}$ (die Zahl aus den nächsten 3 Stellen von rechts)
$\begin{eqnarray*} z_2 =312 \end{eqnarray*}$ (die Zahl aus den nächsten 3 Stellen von rechts)
$\begin{eqnarray*} z_3 =12 \end{eqnarray*}$ (die Zahl aus den nächsten 3 Stellen von rechts mit führender 0)

und danach die alternierende Summe

$\begin{eqnarray*} AQ_3(z)=z_0-z_1+z_2-z_3 \end{eqnarray*}$

Alles klar? Big Laugh

18.10.2009, 18:06

Seven90

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Also das heist dann allgemein

z = a*10^0+b*10^1+c*10^2+d*10^3+e*10^4+f*10^5+....

z = 1*10^0+2*10^1+3*10^2+4*10^3+5*10^4+6*10^5
z = 654321

man braucht dann nur bis zur alternierenden abrunden[ log ( z ) ]`er-Quersumme gehen

hir dann abrunden[ log ( 654321 ) ] = 5`er-Quersumme

alternierenden 1`er-Quersumme

a-b+c-d+e-f

1-2+3-4+5-6

alternierenden 2`er-Quersumme

a+b*10-c+d*10+e+f*10

12-34+56

alternierenden 3`er-Quersumme

a+b*10+c*100-d+e*10+f*100

123-456

alternierenden 4`er-Quersumme

a+b*10+c*100+d*1000-e+f*10

1234-56

alternierenden 5`er-Quersumme

a+b*10+c*100+d*1000+e*10000-f

12345-6

18.10.2009, 19:59

Mystic

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Wie ich oben auch geschrieben habe, muss man alles von rechts her abarbeiten, aber dabei immer gleich einen ganzen Ziffernblock der Länge k abgreifen, ohne an der Reihenfolge der Ziffern irgendwas zu ändern... Das hast du offenbar noch nicht verstanden, wie deine Beispiele zeigen...

Sei also $\begin{eqnarray*} z=654321 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} AQ_1(z)= 1-2+3-4+5-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_2(z)=21-43+65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_3(z)=321-654 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_4(z)=4321-65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_5(z)=54321-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_6(z)=654321 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_7(z)=654321 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AQ_8(z)=654321 \end{eqnarray*}$

usw.usf., d.h., deine alternierende Quersummen sind, wenn man sich an die von dir selbst zitierte Definition hält, bis auf die erste alle falsch! verwirrt

19.10.2009, 20:27

Seven90

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Das kann so nicht stimmen denn

Nach wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit

1´er Quersumme

20548 / 11 = 1868

a+b-c+d-e

8-4+5-0+2 = 11 = 2-0+5-4+8

2´er Quersumme

27068 / 101 =

(a+b*10)-(c+d*10)+e

68-70+2 = 0 =2-70+68

3´er Quersumme

25879 / 7 = 3697

(a+b*10+c*100)+(d+e*10)

879-25 = 122 = -25+879

dem nach müssten alle richtig sein

19.10.2009, 22:41

Mystic

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Ja, diese Beispiele stimmen ja auch (mal abgesehen davon von so "seltsamen" Gleichungen wie 879-25=122) aber du hast z.B. weiter oben geschrieben, dass die 3-er Quersumme von z = 654321 sich so berechnet

123-456

obwohl es richtig so gehört

321-654,

d.h., die Ziffern innerhalb der Blöcke der Länge k=3 dürfen definitiv nicht vertauscht werden...

23.10.2009, 01:50

matze(2)

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Warum eigentlich $\begin{eqnarray*} AQ_k(z)=\sum_{l=0}^{n/k-1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{k-1}~10^i\cdot a_{i+k \cdot l} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} AQ_k(z)=\sum_{l=0}^{n/k}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{k-1}~10^i\cdot a_{i+k \cdot l} \end{eqnarray*}$ ?

Beispielsweiße ist ja $\begin{eqnarray*} AQ_2(654321)=21-43+65 \end{eqnarray*}$ .

Wäre nach der Formel nicht:

$\begin{eqnarray*} AQ_k(z)=\sum_{l=0}^{n/k-1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{k-1}~10^i\cdot a_{i+k \cdot l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AQ_2(654321)=\sum_{l=0}^{5/2-1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{2-1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{l=0}^{1.5}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-1)^0\cdot \sum_{i=0}^{1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot 0} + (-1)^1\cdot \sum_{i=0}^{1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =21-43 \end{eqnarray*}$

?

23.10.2009, 21:04

Mystic

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Ich denke, dass in der ursprünglichen Formel einfach $\begin{eqnarray*} n/k -1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \lceil n/k \rceil-1 \end{eqnarray*}$ , d.h., die nächstgrößere ganze Zahl zu $\begin{eqnarray*} n/k -1 \end{eqnarray*}$ , ersetzt werden sollte, damit dann wirklich alles stimmt...

25.10.2009, 23:33

matze(2)

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Wäre dann nicht zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} k = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = 54321 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} AQ_k(z)=\sum_{l=0}^{\lceil n/k \rceil-1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{k-1}~10^i\cdot a_{i+k \cdot l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AQ_2(54321)=\sum_{l=0}^{\lceil 4/2 \rceil-1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{2-1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{l=0}^{1}~(-1)^l\cdot \sum_{i=0}^{1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-1)^0\cdot \sum_{i=0}^{1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot 0} + (-1)^1\cdot \sum_{i=0}^{1}~10^i\cdot a_{i+2 \cdot 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =21-43 \end{eqnarray*}$

anstatt der erwünschten $\begin{eqnarray*} 21 - 43 + 5 \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2009, 09:58

Mystic

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Wieso ist n=4 in deinem Beispiel? Ich dachte, n ist die Anzahl der Ziffern der gegebenen Zahl... Wenn das nicht zutrifft, dann stimmt meine Formel nicht und wäre entsprechend abzuändern...

26.10.2009, 22:35

matze(2)

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Es soll $\begin{eqnarray*} z=\sum_{i=0}^n~a_{i} \cdot 10 ^{i} \end{eqnarray*}$ sein, oder?

27.10.2009, 07:08

Mystic

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Zitat:

Original von matze(2)
Es soll $\begin{eqnarray*} z=\sum_{i=0}^n~a_{i} \cdot 10 ^{i} \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Das ist eben genau die Frage...Es gibt für die Bedeutung von n zwei natürliche Kandidaten, einer davon ist von dir oben angegeben, der zweite wäre, dass n die Anzahl der Ziffern von z bedeutet, d.h., es wäre dann

$\begin{eqnarray*} z=\sum_{i=0}^{n-1}~a_i \cdot 10 ^i \end{eqnarray*}$

Für mich persönlich ist diese Deutung natürlicher, da man ja auch für jeden Ziffernblock b der Länge k die Darstellung

$\begin{eqnarray*} b=\sum_{i=0}^{k-1}~b_i \cdot 10 ^i \end{eqnarray*}$

hat, aber wenn du deine bevorzugst, musst du halt dann in meiner Formel n durch n+1 ersetzen...

28.10.2009, 21:58

matze(2)

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Vielen Dank, jetzt ist mir alles klar smile

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