Schritte der vollständigen Induktion unklar

18.10.2009, 10:57

Pattt

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Schritte der vollständigen Induktion unklar

Mosche,

auch ich hab so meine Probleme mit der Induktion. Dazu ein paar fragen zu einem Beispiel.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = \frac{n}{2} * (n+1) \end{eqnarray*}$

Was genau sagt diese Summe denn aus?

- Mein Versuch: "Die Summe aller Zahlen von K=1 bis n ist gleich dem Produkt aus $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} * (n+1) \end{eqnarray*}$ ."

1. Schritt: Ich setzte eine beliebige Zahl ein und überprüfe, ob die Funktion für konkretes n stimmt.

Ich nehm also der Einfachheit wegen mal n=1 und setze ein:

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{2} * (1+1) \end{eqnarray*}$ Ergebnis: 1=1 Somit ist die Formel
für n=1 gültig.

2.Schritt: Es gilt zu beweisen, dass die Formel für n+1 gültig bleibt. Und hier fangen meine Schwierigkeiten an.

Ich weiß nicht genau, wie ich in die Formel n+1 einsetzen soll.

Es würde so aussehen: $\begin{eqnarray*} n+1 = \frac{n*(n+1)}{2}*(n+1)+(n+1) \end{eqnarray*}$

Aus den Lösungen sehe ich, dass es wiefolgt heißen muss.:

$\begin{eqnarray*} n+1 = \frac{n+1}{2}* (n+1+1) \end{eqnarray*}$ .

Und wie geht es jetzt weiter? Was muss ich mit der Formel machen, um sie zu beweisen? Das Ergebnis muss wie oben auf beiden Seiten gleich sein, oder?

18.10.2009, 11:19

baphomet

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RE: Schritte der vollständigen Induktion unklar
Dein erster Schritt war korrekt, prüfen ob es für eins gilt, danach mußt deine Annahme das es für n gilt auf n+1 ausweiten dies geschieht wie folgt:

$\begin{eqnarray*} A(n)=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}<br /> A(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Nun gilt es die Schlußfolgerung von A(n) nach A(n+1) zu beweisen, ich schätze hier liegt das Problem.

$\begin{eqnarray*} 1+2+3+\ldots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)<br /> =\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}<br /> <br /> \frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
q.e.d

Das heißt du hast bewiesen, das obige Formel für alle natürlichen Zahl erfüllt ist.

18.10.2009, 11:19

jester.

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Die Aussage hast du fast richtig erfasst. Genau lautet sie: Die Summe der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ natürlichen Zahlen ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 n (n+1) \end{eqnarray*}$ .

Und die erste Zahl, die du überprüfst ( $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ) ist keineswegs beliebig. Denn das Beweisverfahren zeigt, dass die Behauptung für alle natürlichen Zahlen ab dieser Zahl gilt. Wählst du also $\begin{eqnarray*} n=33 \end{eqnarray*}$ , so zeigst du die Gültigkeit der Behauptung nur für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 33 \end{eqnarray*}$ .

Um das Verfahren der vollst. Induktion zu verstehen schaue dir doch einmal unseren Workshop an.

18.10.2009, 12:05

Pattt

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Danke für die ersten Antworten, so langsam blicke ich das System.

Ums kurz zusammenzufassen.

Zuerst setzt man 1 ein und überprüft die Formel. Wenns aufgeht stimmt die Formel und man erweitert die Ursprungsformel im zweiten Schritt mit +1 und erhält dadurch die Zielformel?
Und im letzten Schritt wird die Formel bewiesen, indem man den Weg von der Ursprungsformel + (n+1) zur Zielformel aufzeigt und beweist, dass die Formeln identisch sind?
.......Ist das zu speziell formuliert, oder was müsste ich ändern, damit ich das Prinzip auf andere Aufgaben übertragen kann?

Als nächstes probier ich folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} q^{k} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 13:48

Pattt

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soooo.....

das Einsetzen hat funktioniert.

$\begin{eqnarray*} q^{1} = \frac{q^{2}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray*} q=q \end{eqnarray*}$

Somit ist die Formel für 1 gültig.

A(n) -> A(n+1) Wie sieht das dann aus? so in etwa?

$\begin{eqnarray*} q^{n+1} = \frac{q^{n+2}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$ Ist das die "Zielformel"? Wenn nein, wo ist der Fehler?

Nächster Schritt: Schlussfolgerung von A(n) -> A(n+1) beweisen.

$\begin{eqnarray*} q^{k} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1}+ (n+1) => q^{k}= \frac{q^{n+1}-q*(q-1)+(n+1)}{q-1} \end{eqnarray*}$

Nur dann weiß ich nicht weiter! War der Schritt so richtig? Wenn nein, wo ist der Fehler? Wenn ja, kleiner Tip für den nächsten Schritt?

19.10.2009, 09:00

RS

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Zitat:

Zuerst setzt man 1 ein und überprüft die Formel. Wenns aufgeht stimmt die Formel...

Nicht die Formel stimmt dann sondern die Probe für A(1). Die Formel gilt erst als bewiesen wenn du aus A(n) auf A(n+1) folgern kannst.

Sei außerdem nicht so voreilig mit der Aussage immer "1" einzusetzen. Wenn eine Bedingung für n besteht (z.b. n>2) dann kannst du natürlich nciht mit 1 als Probe beginnen.

Nun zum Problem zurück.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n q^{k} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$

So soll das ganze denke ich aussehen (weil bei dir leider nicht auszumachen ist ob es sich um ein Produkt aller q^k oder die Summe oder sonst was handelt.

Ja die probe für A(1) ist richtig.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1 q^{k} =q=\frac{q^{2}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$

Nun aus A(n) auf A(n+1) schließen.
Ja das ist die "Zielformel":

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} q^{k} = \frac{q^{n+2}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$

Nun zu deiner "Lösung"

$\begin{eqnarray*} q^{k} = \frac{q^{n+1}-q}{q-1}+ (n+1) => q^{k}= \frac{q^{n+1}-q*(q-1)+(n+1)}{q-1} \end{eqnarray*}$

ist so nicht richtig. Die Summe beschreibt ja die Addition der q^k nicht wie bei dir von k.
(n+1) in der ersten Gleichung sagte ja aus das die Summe ursprünglich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k \end{eqnarray*}$ war.

Probiers mal mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} q^{k} = \sum_{k=1}^n q^{k} +q^{n+1}=\frac{q^{n+1}-q}{q-1}+ q^{n+1} => \sum_{k=1}^{n+1} q^{k} = \frac{q^{n+1}-q+(q-1)(q^{n+1})}{q-1} \end{eqnarray*}$

Hoffe du verstehst deinen Fehler?

Was musst du nun noch machen?

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19.10.2009, 09:07

Airblader

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@RS

Und wieso hast du nun das Summenzeichen verschlampt? Was da bei dir steht ist genauso falsch.
Korrekt heißt es

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} q^k = \sum_{k=1}^n q^k + q^{n+1} = \frac{q^{n+1} - q}{q-1} + q^{n+1} = \cdots \end{eqnarray*}$

Edit: Fiesling, da editierst du den Fehler einfach raus! Big Laugh

Big Laugh

air

19.10.2009, 09:08

RS

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habs schon korrigiert^^ sry

PS:\\ tja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2009, 14:41

Pattt

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ganz knapp vorbei.......ok

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}-q+(q-1)*(q^{n+1})}{q-1} \end{eqnarray*}$

Vereinfachung des Produktes im Zähler:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+1}-q+(q^{n+2})-q^{n+1}}{q-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{n+2}-q}{q-1} \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Kann mich mal jemand aufklären, wie die Schreibweise mit dem Summenzeichen vor einer solchen Formel auszusehen hat?

Ich versteh z.b. nicht wieso es heißt:

$\begin{eqnarray*} q^k = \sum_{k=1}^n~q^k + q^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Bei meinem ersten Lösungeversuch hatte ich ja nur $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~q^k =.... \end{eqnarray*}$

Woher weiß ich, dass dort q^(n+1) noch gefehlt hat bzw. das der ausdruck q^k stehen bleibt?

19.10.2009, 15:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pattt
Kann mich mal jemand aufklären, wie die Schreibweise mit dem Summenzeichen vor einer solchen Formel auszusehen hat?

Ich versteh z.b. nicht wieso es heißt:

$\begin{eqnarray*} q^k = \sum_{k=1}^n~q^k + q^{n+1} = ... \end{eqnarray*}$

Das steht auch nirgendwo, oder? Vermutlich meinst du:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~q^k = \sum_{k=1}^n~q^k + q^{n+1} \end{eqnarray*}$

Da hat man einfach den letzten Summanden der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~q^k \end{eqnarray*}$ (das ist der Summand $\begin{eqnarray*} q^{n+1} \end{eqnarray*}$ ) aus der Summe rausgezogen. Dadurch geht die Summe nur noch über die Indizes k = 1 bis n.

19.10.2009, 16:42

Pattt

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nachdem ich die letzten 2 Beispiele verstanden habe, hänge ich schon wieder. *kotz*
ich komme mit dem zeugs net zurecht.

nächstes beispiel: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^3 =(\frac{n}{2}*(n+1))^2 \end{eqnarray*}$

Überprüfen obs für n=1 gültig ist (Klappt eigl noch)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~1^3 =(\frac{1}{2}*(1+1))^2 \end{eqnarray*}$

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 1^3 = 1^2 \end{eqnarray*}$

Da ich denke, dass die Formel nur für den Wert 1 aufgeht probier ich es mit dem Wert 2:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^2~2^3 =(\frac{2}{2}*(2+1))^2 \end{eqnarray*}$

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 8 \neq 9 \end{eqnarray*}$

Die Formel ist folglich falsch!.

Und was sagt ihr?

19.10.2009, 16:49

baphomet

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Denkfehler bei dir du bildest doch die Summe der dritten Potenzen, das sagt die Formel auf der rechten Seite aus.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3 \ne 2^3+\ldots +n^3 \end{eqnarray*}$

Wenn du ab 2 beginnst mußt du noch eins subtrahieren, ist ja logisch.

Erster Schritt ist korrekt, gilt für eins, daraus Schlußfolgerung für n gilt und für n+1 sollte gelten:

$\begin{eqnarray*} A(n)=\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2<br /> A(n+1)=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Das beweißt du jetzt nach Schema f und fertig ist der Lack.

19.10.2009, 17:17

baphomet

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Hyperlink für Induktionsaufgaben+Lösungen mit Lösungsweg

http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
[url=http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf][/url]
Ich hoffe das pdf file hilft dir beim Thema Indultion weiter

19.10.2009, 19:03

Pattt

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Zitat:

Original von baphomet
Denkfehler bei dir du bildest doch die Summe der dritten Potenzen, das sagt die Formel auf der rechten Seite aus.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3 \ne 2^3+\ldots +n^3 \end{eqnarray*}$

Gut, den ersten Fehler hab ich soweit begriffen. Klar 1^3 + 2^3 muss es heißen.

Wenn du ab 2 beginnst mußt du noch eins subtrahieren, ist ja logisch.

Erster Schritt ist korrekt, gilt für eins, daraus Schlußfolgerung für n gilt und für n+1 sollte gelten:

$\begin{eqnarray*} A(n)=\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2<br /> A(n+1)=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Das beweißt du jetzt nach Schema f und fertig ist der Lack.

Iwie hab ichs wieder verkackt:

siehe: $\begin{eqnarray*} (\frac{n*(n+1)}{2})^2 + (n+1) \Rightarrow (\frac{n²+n}{2})^2 + (n+1) \Rightarrow \frac{n^4+n^2}{4} + (n+1) \Rightarrow \frac{n^4+n^2+4n+4}{4} \end{eqnarray*}$

Irgendwann muss doch auch ich mal das Schema erkennen -.-

19.10.2009, 19:22

RS

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das problem ist du erkennst den größten teil des schemas, aber eines machst du immer falsch du addierst zu $\begin{eqnarray*} A(n)=\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ um auf A(n+1) zu kommen grundsätzlich (n+1). du musst aber den ausdruck $\begin{eqnarray*} k^3 \end{eqnarray*}$ aus der ursprungssumme für k=n+1 dazu addieren.

Ich geb dir mal ein paar einfache beispiele, dann dürftest du es erkennen.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> A(n)=\sum_{k=1}^n 2\cdot k^{2}\rightarrow A(n+1)=\sum_{k=1}^{n+1} 2\cdot k ^{2}\rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} 2\cdot k ^{2}=\sum_{k=1}^n 2\cdot k^{2} + 2\cdot( n+1)^{2}<br /> <br /> A(n)=\sum_{k=1}^n 2^{k}\rightarrow A(n+1)=\sum_{k=1}^{n+1} 2^{k}\rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} 2^{k}=\sum_{k=1}^n 2^{k} + 2^{n+1}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

19.10.2009, 20:26

Pattt

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Dann versuch ich das mal zu übertragen:

Teil 1:

$\begin{eqnarray*} A(n)= \sum_{k=1}^n~k^3= 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + n^3 = (\frac{n*(n+1)}{2})² => A(n+1)= 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... (n+1)^3 =\sum_{k=1}^{n+1}~k^3 => \sum_{k=1}^{n+1}~k^3 = \sum_{k=1}^n~k^3 + k^{n+1} \end{eqnarray*}$ Ist das jetzt korrekt?^^

Teil 2:

$\begin{eqnarray*} A(n) = \sum_{k=1}^n~k^3 = (\frac{n*(n+1)}{2})² \end{eqnarray*}$

1 Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} A(1) = \sum_{k=1}^1~1^3 = (\frac{1*(1+1)}{2})² => 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Beweis:
edit: Rest kommt gleich nach.

19.10.2009, 20:30

RS

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Ne wieder falsch. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3=1³+2³+3³+...+n³ \end{eqnarray*}$

Das jetzt übertragen wenn zur Summe noch der Summand für k=n+1 hinzukommt.

Ich glaube du hast ein heftiges problem k und n auseinander zuhalten^^ bzw zu sehen was was ist.

In wortlaut besagt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray*}$

Die Summe der Terme k³ für alle fortlaufenden k von 1 bis n. Also $\begin{eqnarray*} 1³+2³+3³+...+n³ \end{eqnarray*}$

Kommt jetzt noch der Term k³ für k=n+1 dazu. dann hieße das $\begin{eqnarray*} 1³+2³+...+n³+(n+1)³ \end{eqnarray*}$ .

19.10.2009, 20:40

RS

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Nein $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^3 = \sum_{k=1}^n~k^3 + k^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} k^3 \end{eqnarray*}$ stellt den term dar der für fortlaufende k von 1 bis n (bzw. eben bis n+1) addiert wird. Du setzt für k sozusagen alle werte von 1 bis n (oder n+1) ein.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^3 = \sum_{k=1}^n~k^3 + (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

So muss es aussehen.

19.10.2009, 20:45

Pattt

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ok....leichtsinnsfehler^^

$\begin{eqnarray*} A(n)= \sum_{k=1}^n~k^3= 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + n^3 = (\frac{n*(n+1)}{2})² => A(n+1)= 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... (n+1)^3 =\sum_{k=1}^{n+1}~k^3 => \sum_{k=1}^{n+1}~k^3 = \sum_{k=1}^n~k^3 + ({n+1}^3) = (\frac{(n+1)*(n+2)}{2})² + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

Wie ist das?

By the way: Danke für die Geduld und die Hilfe...das bringt mir echt einiges Freude

Freude

19.10.2009, 20:49

RS

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vom grund her sind jetzt alle rechnungen richtig (aber noch nicht zu ende geführt). nun mal noch in eine ordentliche form (induktionsbasis, induktionsvoraussetzung, indukionsschluss) bringen.

Zur Erklärung:

Die Induktionsbasis beschreibt die Probe für z.b n=1 (oder eben das n was als erstes definiert ist [bei n>2 als vorgabe wäre die probe mit n=3 durchzuführen]).

Die Induktionsvoraussetzung beschreibt die zu beweisende Implikation A(n)->A(n+1).

Der Induktionsschluss ist letztlich unter der Annahme dass A(n) gilt, dass beweisen von A(n+1).

19.10.2009, 21:07

Pattt

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Induktionsbasis:

$\begin{eqnarray*} A(n) = \sum_{k=1}^n~k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (\frac{n*(n+1)}{2})² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(1) \sum_{k=1}^1~k^3 = 1^3 = (\frac{1*(1+1)}{2})² \Rightarrow 1^3 = 1^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung: A(n) -> A(n+1)

$\begin{eqnarray*} A(n+1)= 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... (n+1)^3 =\sum_{k=1}^{n+1}~k^3 => \sum_{k=1}^{n+1}~k^3 = \sum_{k=1}^n~k^3 + ({n+1}^3) = (\frac{(n+1)*(n+2)}{2})² + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

Und dann fehlt noch der letztliche Beweis. Den will ich erst versuchen, wenn obiger Teil (hoffentlich endlich) richtig ist^^

19.10.2009, 21:24

RS

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das problem ist du nimmst an das A(n+1) wahr ist. das soll aber erst bewiesen werden.

Und das ist der Induktionsschritt, du beweist, dass

unter vorraussetzung das $\begin{eqnarray*} A(n)=1³+2³+...+n³=\sum_{k=1}^{n} k^{3} \end{eqnarray*}$ gilt (das schreibst du am besten auch so hin, sprich "Es gelte A(n)=...")
musst du nun zeigen dass $\begin{eqnarray*} A(n+1)=\left(\frac{(n+1)*((n+1)+1)}{2}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ ist. Du darfst aber nicht von vorn herein annehmen, dass es so ist. soll ja bewiesen werden^^.

"Dann ist $\begin{eqnarray*} 1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³=\sum_{k=1}^n k³+(n+1)^{3}=\left(\frac{n*(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}=... \end{eqnarray*}$

Und wenn dann am Ende nach allem ausklammern und so weiter dasselbe heraus kommt wie oben hinter A(n+1) steht. Dann kannst du dein q.e.d (was zu beweisen war) drunter setzen. Denn dann ist hast du bewiesen, dass die Formel A(n) auch für n+1 und damit für alle natürlichen Nachfolger gültig ist

19.10.2009, 21:37

Pattt

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Verdammte Sch**** maaaann.......

Ich glaube mein prob ist, dass ich nicht ganz verstehe, was ich genau schreibe/ ausdrücke.

Des muss ich wohl irgendwie noch lernen.

Du sagst ja, ich würde annehmen, das A(n+1) wahr ist. Dessen bin ich mir nicht mal bewusst.
Wollte eigl nur zeigen, wie die Formel für A(n+1) aussehen sollte. Denn das soll bewiesen werden.

19.10.2009, 21:51

RS

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Zu schreiben, dass du zeigen willst/musst das A(n+1) gilt ist nicht falsch. Ist sogar richtig. Aber der Induktionsschluss beginnt nicht mit A(n+1). Denn das musst du ja erst aus A(n) unter addition mit dem Summanden für k=n+1 zeigen.

Der Induktionsschluss (der eigentluiche Beweis) beginnt mit der Summe $\begin{eqnarray*} 1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³=... \end{eqnarray*}$ Dahinter setzt du nun, dass was wir als wahr vorausgesetzt haben nämlich $\begin{eqnarray*} A(n)=\left(\frac{(n)*((n+1)}{2}\right)^{2} \end{eqnarray*}$

Sprich: $\begin{eqnarray*} 1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³=\sum_{k=1}^{n} k³ + (n+1)^{3}=\left(\frac{(n)*((n+1)}{2}\right)^{2} + (n+1)³=... \end{eqnarray*}$

Und wenn du nun noch alles "gleich" machst und zusammenfasst kommt halt

$\begin{eqnarray*} ...=\left(\frac{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ heraus und du hast gezeigt, dass A(n+1) tatsächlich $\begin{eqnarray*} =\left(\frac{(n+1)*(n+2)}{2}\right)^{2} \end{eqnarray*}$ q.e.d

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