Wurzel aus Zahl mit Exponent

18.10.2009, 12:02

Wurzler

Wurzel aus Zahl mit Exponent

Hallo,
wie sehe ich schnell, welche der Zahlen Größer ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2^\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{1.41^{3.14}} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 12:04

baphomet

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent
Der linke Ausdruck ist größer, schon mal was von Überschlag gehört, grob siehts so aus.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[]{2^3}\stackrel{?}{>}\sqrt[]{\left(\frac{3}{2}\right)^3} \end{eqnarray*}$

kiste: Offensichtlich falsche Aussage korrigiert.

18.10.2009, 12:07

Wurzler

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent

Zitat:

Original von baphomet
Der rechte Ausdruck ist größer, schon mal was von Überschlag gehört, grob siehts so aus.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[]{2^3}=\sqrt[]{\left(\frac{3}{2}\right)^3} \end{eqnarray*}$

Eben nicht der rechte ist kleiner

18.10.2009, 12:09

baphomet

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent
hab mich verschrieben, sorry

18.10.2009, 12:11

Wurzler

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Ok. Schwieriger wird es aber bei der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2^\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{1.42^{3.15}} \end{eqnarray*}$ [/quote]

18.10.2009, 12:12

Q-fLaDeN

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent

Zitat:

Original von Wurzler
Hallo,
wie sehe ich schnell, welche der Zahlen Größer ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2^\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{1.41^{3.14}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1.41^{3.14}} \approx \sqrt{\sqrt {2^{\pi}}} \end{eqnarray*}$

Edit:

Bei der "schwierigeren" Aufgabe geht das genauso wie ich es hier gezeigt habe. Ein wenig schwerer wirds dann z. B. bei solchen Aufgaben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{3^\pi}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{3^{\ln 4.81}} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 12:15

Wurzler

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent
wie kommt man auf sowas?

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Zitat:

Original von Wurzler
Hallo,
wie sehe ich schnell, welche der Zahlen Größer ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2^\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt{1.41^{3.14}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1.41^{3.14}} \approx \sqrt{\sqrt {2^{\pi}}} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 12:17

baphomet

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent
Wurzel aus 2 ist ungefähr 1,41 so kommt man darauf deshalb kann man mithilfe der Potenzgesetze dies so schreiben und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist näherungsweise 3.

18.10.2009, 12:20

Q-fLaDeN

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent

Zitat:

Original von baphomet
und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist näherungsweise 3.

Pi ist genau 3!

18.10.2009, 12:22

baphomet

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RE: Wurzel aus Zahl mit Exponent
$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist irrational und ungefähr 3,14159\ldots und lässt sich durch
den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{355}{113} \end{eqnarray*}$ annähern.

Zitat:

PI ist 3!

18.10.2009, 12:30

Q-fLaDeN

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Ich weiss, dass pi nicht 3 ist... das sollte nur auf deine "Näherung" hinweisen... Pi ist näherungsweise NICHT 3 sondern eher schon 3.14
Das zeigt der Annäherungsbruch ja auch.

18.10.2009, 12:33

baphomet

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wenn du im Kopf $\begin{eqnarray*} 2^{3,14} \end{eqnarray*}$ rechnen kannst ist das ja gut, aber für den Überschlag im Kopf bevorzuge ich 3, aber Bayern kann das, du kannst auch im Kopf di 15 Wurzel aus 2 berechnen,

18.10.2009, 12:37

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von baphomet
wenn du im Kopf $\begin{eqnarray*} 2^{3,14} \end{eqnarray*}$ rechnen kannst ist das ja gut

Das kann ich genauso wenig wie du und ich habe auch nie behauptet, dass ich das kann. Und mit meiner Herkunft hat das auch nichts zu tun. Jedoch ist 3 als Näherung ein wenig zu abweichend. Im Kopf rechnen braucht man das hier ja auch gar nicht, hinsehen genügt ja.

So, aber lass uns jetzt nicht streiten. B2T.

18.10.2009, 12:40

Wurzler

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Ok bis hierhin ist alles klar. Wie sieht es mit sowas aus?

$\begin{eqnarray*} \sqrt {2}^{~-\frac 1 {\sqrt \pi}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1.42^{~-\frac 1 {3.14}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.42>\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3.14<\pi \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 12:40

baphomet

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ok alles klar
aber er wollte doch eine schnelle Lösung, das heißt die man auf den ersten Blick sieht und ich finde das es bei beiden Aufgaben per Überschlag möglich ist. Ich hab den bei mir passend gewählt, außerdem ist dir bestimmt aufgefallen das ich 1,41 aufgerundet habe und dafür pi abgerundet habe, also alle Rechenvorschriften beachtet. Wir haben sein Problem gelöst denk ich deswegen machen wir Schluss hier.

18.10.2009, 12:42

baphomet

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Benutze die Potenzgesetze, jede Wurzel kann als Potenz geschrieben werden und es gilt:
$\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{m*n} \end{eqnarray*}$

Und mal ne Frage, wieviele Aufgaben möchtest du uns noch stellen, es funktioniert immer nach dem gleichen Schema.

$\begin{eqnarray*} 2^{-\frac{1}{2\sqrt[]{\pi}}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{2\sqrt[]{\pi}}}}<br /> 1,42^{-\frac{1}{3,14}}=\frac{1}{1,42^{\frac{1}{3,14}}} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 12:53

Wurzler

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sorry mir ist ein Tippfehler unterlaufen. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {2}^{~-\frac 1 {\sqrt \pi}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1.42^{~-\frac 1 {\sqrt{3.14}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.42>\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3.14<\pi \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 12:55

baphomet

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Entweder du entscheidest intuitiv oder du probierst bei Wurzeln das Newton- bzw. Heronverfahren.
Denn es gibt wirklich schwierige Fälle wos nicht so einfach ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{\frac{1}{2\sqrt[]{\pi}}}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{3,5}}}<br /> \frac{1}{1,42^{\frac{1}{\sqrt[]{\pi}}}}=\frac{1}{1,42^{\frac{1}{1,75}}} \end{eqnarray*}$

Tolles Beispiel, da benötigt man Rechenhilfe vom Taschenrechner.

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