Ungleichung lösen nach x

18.10.2009, 13:45

matheneuling123

Ungleichung lösen nach x

Hallo zusammen,

ich kriege es nicht gebacken folgende Ungleichung zu lösen

$\begin{eqnarray*} x/(x+1) < x/(x-1) \end{eqnarray*}$

daraus folgt meines wissens nach

$\begin{eqnarray*} x²-x<x²+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<(x²+2x)/x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<x+2 \end{eqnarray*}$

und da komm ich dann auch schon nciht mehr weiter,
und es dürfte in diesem fall ja auch in allen drei fällen so ausgehen
kann mir bitte jemand helfen?
danke i.v

18.10.2009, 13:52

Mystic

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RE: Ungleichung lösen nach x
Ja, du bist an der Aufgabe

$\begin{eqnarray*} x(x+1) \end{eqnarray*}$

auszumultiplizieren gescheitert.. traurig

18.10.2009, 13:56

matheneuling123

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achne sorry Big Laugh

war nur ein schreibfehler, ich trottel

also ich hatte schon folgendes

$\begin{eqnarray*} x²-x < x²+x \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 14:15

Mystic

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Ok, kürz mal $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ weg und schau was du dann erhältst...

18.10.2009, 14:53

heinzelotto

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wenn $\begin{eqnarray*} (x+1)(x-1) = x^2-1 < 0 \Leftrightarrow |x| < 1 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss man beim Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} (x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ beachten, dass das negativ ist und das ungleichheitszeichen entsprechend umdrehen. Da man später dann nochmal ein x kürzt, muss man bei negativem x das Vorzeichen wieder zurückdrehen, d.h. insgesamt Vorzeichen umdrehen, wenn $\begin{eqnarray*} x\in (0,1) \end{eqnarray*}$ oder wenn $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty,-1) \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 15:20

Mystic

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Ja, die Sache ist tatsächlich etwas komplizerter als ich das nach einem kurzen Blick auf die Aufgabe gesehen habe...

Im Prinzip sollte man die 2 Fälle unterscheiden

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x^2>1 \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} x^2<1 \end{eqnarray*}$

Im ersten Fall geht die Rechnung so, wie oben beschrieben und man sollte nicht in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} x(x-1)<x(x+1) \end{eqnarray*}$

durch x Kürzen, was unnötigerweise eine weitere Fallunterscheidung notwendig macht, sondern wirklich ausmultiplizieren und dann $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ beidseitig addieren...

Der 2.Fall ist ähnlich, auch hier sollte man nicht durch x kürzen (diesen Fehler habe ich anfangs auch gemacht), sonder lieber ausmultiplizieren und gleiche Potenzen von x zusammenfassen...

18.10.2009, 15:32

heinzelotto

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Zitat:

Original von Mystic
[...] man sollte nicht in der Gleichung [...] durch x Kürzen, was unnötigerweise eine weitere Fallunterscheidung notwendig macht, sondern wirklich ausmultiplizieren und dann $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ beidseitig addieren...

Das Kürzen von x war dann am Ende gemeint, nachdem man $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ subtrahiert hat und z.B. $\begin{eqnarray*} -x < x \end{eqnarray*}$ übrigbleibt. Daraus kann man dann $\begin{eqnarray*} -1 <\ ( oder > ) 1 \end{eqnarray*}$ machen (je nachdem, ob x positiv ist), was dann entweder richtig oder falsch ist. Also im Grunde nur der letzte Schritt der Rechnung

18.10.2009, 15:45

Mystic

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Auch hier wäre für mich persönlich der Schluss

$\begin{eqnarray*} -x<x \quad\Rightarrow \quad 0<2x\quad \Rightarrow x>0 \end{eqnarray*}$

naheliegender, aber es geht hier wirklich nur um Nuancen, zumindestens im Vergleich zu der Tatsache, dass ich ohne deinen Hinweis die negativen Lösungen der Ungleichung glatt übersehen hätte... unglücklich

18.10.2009, 17:31

matheneuling123

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Also ich glaube ich habs nun, schonmal vielen Dank für die Hilfe.

Nochmal zur Kontrolle:

Fall 1: x<-1
Fall 2: -1<x<1
Fall 3: x>1
___________

L1={}
L2=(-1 ; 0) da $\begin{eqnarray*} x²-x > x²+x <=> x<0 \end{eqnarray*}$
L3=(1 ; unendlich) da $\begin{eqnarray*} x²-x<x²+x <=> x>0 \end{eqnarray*}$

ist das alle so richtig?

18.10.2009, 18:31

Mystic

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Schaut für mich richtig aus Freude

18.10.2009, 20:44

matheneuling123

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da bin ich aber froh, besten dank

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