Induktionsbeweis mit Ungleichung und Fibonacci

18.10.2009, 14:59	XNC	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis mit Ungleichung und Fibonacci Hallo. Ich habe folgende Ungleichung zum Beweis durch Induktion gegeben: $\begin{eqnarray} 1 < \frac{f_{n+1}}{f_{n}} < 2 \end{eqnarray}$ Bedingung: $\begin{eqnarray} n \geq 3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_{n} \end{eqnarray}$ soll die n-te Fibonacci-Zahl sein. Mir ist bekannt, wie die Fibonacci-Folge definiert ist. Nämlich mit $\begin{eqnarray} f_{1}=f_{2}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n} \end{eqnarray}$ . Dabei ist mir jedoch unklar, wie man die Rekursion als Summenformel zwecks Induktionsbeweis ausdrücken soll. Zudem habe ich noch keine Ungleichung durch Induktion bewiesen. Da könnte schon das nächste Problem lauern.
18.10.2009, 15:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Ungleichung ist praktisch trivial. Man setze einfach nur mal für $\begin{eqnarray} f_{n+1} \end{eqnarray}$ die Rekursionsformel ein. Die Induktion dahinter ist nur ne formale Sache.
18.10.2009, 15:48	XNC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mir schleierhaft, was das bringen soll. Induktionsanfang ist ja bei n=3. Das ergibt $\begin{eqnarray} 1 < \frac{3}{2} < 2 \end{eqnarray}$ oder nach Einsetzen der Rekursionsformel zu $\begin{eqnarray} 1 < \frac{f_{n+2}}{f_{n}}-1 < 2 \end{eqnarray}$ folgendes $\begin{eqnarray} 1 < \frac{5}{2}-1 < 2 \end{eqnarray}$ . Indsuktionsschritt wäre also $\begin{eqnarray} 1 < \frac{f_{n+3}}{f_{n+1}} < 2 \end{eqnarray}$ ?

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