Identität zeigen? Wie?

18.10.2009, 15:27	Michi_l	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität zeigen? Wie? Hallo Zusammen Ich habe in einer nicht-Kombinatorik Vorlesung ein Kapitel über Kombinatorik und da ich in diesem Gebiet noch nie besonders talentiert war. Habe ich ziemlich Mühe bei einigen Aufgaben. Deshalb wäre ich sehr froh, ihr könnten mir bei einer helfen. Diese sieht folgendermassen aus: "Zeigen Sie die folgende Identität auf zwei verschiedene Arten: i) mit einem rechnerischen Beweis. ii) indem Sie ein kombinatorischen Argument benützen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = n2^{n-1} \end{eqnarray}$ " hmm, ich habs mal mit volls. Induktion versucht, aber bin auf keinen grünen Zweig gekommen ( ich kenn Induktion erst n 2 oder 3 Wochen). Könnt mir mir ein paar Tipps geben? Herzlichen dank
18.10.2009, 15:41	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Induktion klingt doch eigentlich gut. Nach welcher Variable würdest du induzieren, wie lautet dann der Induktionsanfang? Wie der Ansatz für den Induktionsschritt?
18.10.2009, 17:01	michi_l	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, da hatte ich eben schon recht Mühe, ich habe vielleicht 2 oder 3 Induktionsbeweise hinter mir und bin beim Anblick der 2 Variablen schon verwirrt. Hm ich würde nach k induzieren, aber bin mir nicht sicher. Desweiteren ist es für mich rel. schwer die ganzen Umformungen des Binomialkoeffizienten usw... Ich hätte im Induktionsschritt den binomialkoeffizienten nach def. als Bruch mit den Fakultäten geschrieben, habe ich auch, aber kam auf nichts aussagekräftiges...
19.10.2009, 12:53	Michi_l	Auf diesen Beitrag antworten »
hm.. ich habs mir nochmal überlegt und versucht über n zu induzieren.?! Aber irgendwie klappt das doch auch nicht... Muss ich den Binomialkoeffizienten als Bruch schreiben oder wie soll ich das machen? Bitte Tipps... Danke
19.10.2009, 13:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist richtig über n zu induzieren. Im Induktionschritt stößt du ja auf $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray}$ . Da bietet sich natürlich die Identität $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} \end{eqnarray}$ an. Danach dann die Summe in 2 Summen aufteilen und ein bisschen Umformen bis du die Induktionsvorraussetzung anwenden kannst. Für die kombinatorische Überlegung: Betrachte mal folgende, zu obiger Identität äquivalente, Gleichung. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} k\frac{\binom{n}{k}}{2^n} = \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ Stichwort: Binomialverteilung.
19.10.2009, 16:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Überdenkenswert ist auch die Variante, über die Definition des Binomialkoeffizienten die Identität $\begin{eqnarray} k\cdot \binom{n}{k} = n\cdot \binom{n-1}{k-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq k\geq 1 \end{eqnarray}$ nachzuweisen. Dann folgt die Behauptung leicht aus dem binomischen Satz.
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19.10.2009, 16:18	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Pervers. Das macht einen Einzeiler aus der Teilaufgabe i)

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