Ungleichung mit Summen- und Produkzeichen

18.10.2009, 15:50

Wuba

Ungleichung mit Summen- und Produkzeichen

Bei meinen Übungen zur Analysis I stellt sich mir bei der letzen Aufgabe eine erneute frage.

Man zeige: Es sei $\begin{eqnarray*} 1~\leq~n~\in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Es seien $\begin{eqnarray*} a_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ~~1~\leq~k~\leq~n ~\in~\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}~ \sum_{k=1}^n~{a_k}\right)^n~\geq~\prod \limits_{k=1}^{n}{a_k} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Man betrachte

$\begin{eqnarray*} \left(1~+~\frac{a_{n+1}-~\bar a}{\left(n+1\right)~\cdot~\bar a}\right)^{n+1} \\ \\ \\mit:~\bar a~=~\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$

Ich werde nachher noch meine Überlegungen hier reinschreiben, muss allerdings jetzt zur Arbeit Augenzwinkern

18.10.2009, 18:50

Wuba

Auf diesen Beitrag antworten »

So, da bin ich wieder....

Also der Zusatz:"Man betrachte lädt doch Förmlich dazu ein es mit vollst. Induktion zu probieren, sehe ich das richtig ?

Wenn ich dann allerdings n->n+1 mache komme ichin keinster weise an den vorgegebenen Term ran. Nenner ist ganz anders, dass +1 fehlt, -Summe hab ich nicht.

Dann habe ich in den gegeben Term a(quer) durch den tatsächlichen Term ersetzt, komme da ausser Bruch umschriben etc. aber auch nicht weit.

Ich weiss nicht genau, wo ich da hin muss bzw. hinwollen soll um an eine Lösung zu kommen.

Vllt. jemand n Tipp für mich ?

Danke schonmal...

18.10.2009, 19:19

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Induktion ist schonmal ne gute Idee.

Weiterhin lädt das doch auch zur Bernoullischen Ungleichung ein Augenzwinkern

Forme dann mal die Klammer etwas um (Auf einen Bruch bringen) und dann erhältst du eine Abschätzung, die dir im Induktionsschritt hilft.

18.10.2009, 20:17

Wuba

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bernoullische Ungleichung besagt doch in diesem Fall, dass

$\begin{eqnarray*} (1~+~\frac{a_{n+1}~-~\bar a}{(n+1)~\bar a})^{n+1}~\geq~1~+~\left[(n+1)~\cdot~\frac{a_{n+1}~-~\bar a}{(n+1)~\cdot~\bar a}\right] <br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann kommt da raus, dass

$\begin{eqnarray*} (1~+~\frac{a_{n+1}~-~\bar a}{(n+1)~\bar a})^{n+1}~\geq~\frac{a_{n+1}}{\bar a}~=~\frac{a_{n+1}~\cdot~n}{\sum_{k=1}^n~a_k} \end{eqnarray*}$

Da kann ich aber auch noch keinn richtigen Zusamenhang erkennen.

Theoretisch müsste ich jetzt doch beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}~\cdot~n}{\sum_{k=1}^n~a_k}~\geq~ \prod_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$

Oder will ich grade in ne vollkommen falsche richtung.

Und das Bruch umformen hat mir noch nicht ganz den erhofften Fortshritt gebracht, weil dann da steht :

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n}~\sum_{k=1}^{n}~a_k)^n~=~(\frac{\sum_{k=1}^{n}~a_k}{n})^n \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann schonmal in richtung des anderen Termes will bekomm ich da durch Induktion aber maximal das hier:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a_{n+1}~+~\sum_{k=1}^{n}~a_k}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

...da seh ich Momentan einfach noch kein weiterkommen unglücklich

18.10.2009, 20:29

Wuba

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wuba

Theoretisch müsste ich jetzt doch beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}~\cdot~n}{\sum_{k=1}^n~a_k}~\geq~ \prod_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$

Achtung hier, beim Produktzeichen von n nach n+1 verbessert

Folgendes gilt ja schonmal:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}~\cdot~n~\geq~\underbrace{a_1~\cdot~a_2~\cdot~...~\cdot~a_{n+1}}_{n\mbox{-mal}} \end{eqnarray*}$

Nun hat aber die Linke Siete dummerweise noch einen Nenner ... unglücklich

Wie gesagt, wenn ich in die falsche Richung denke, dann stoppt mich...

18.10.2009, 20:34

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wuba

wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann kommt da raus, dass

$\begin{eqnarray*} (1~+~\frac{a_{n+1}~-~\bar a}{(n+1)~\bar a})^{n+1}~\geq~\frac{a_{n+1}}{\bar a} \end{eqnarray*}$

Genau das brauchen wir.

Jetzt multiplizieren wir die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1} \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \left(\bar a + \frac{a_{n+1}-\bar a}{n+1} \right)^{n+1} \geq \bar a^n \cdot a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du den Inhalt der Klammer etwas umformen. D.h. das ganze auf einen Bruch bringen, vereinfachen und mal $\begin{eqnarray*} \bar a \end{eqnarray*}$ ausschreiben. Mach das mal.

Dann sehen wir weiter.

18.10.2009, 21:26

Wuba

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~\left(\frac{1}{n+1}~\cdot~\sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right)^{n+1}~\geq~\left(\frac{1}{n}~\cdot~\sum_{k=1}^{n}~a_k\right)^n~\cdot~a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich hab ja jetzt gezeigt, dass dieses "Man betrachte" dem Induktionsschrit n->n+1 entspricht. Aber der Teil hinter dem $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ hat jetzt in der Klammer den Ursprungsteil, der größer ist.

Ich weiss ja jetzt, dass
$\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1}~\geq~\bar a^n~\cdot~a^{n+1} \end{eqnarray*}$

Darf ich dann mit dem zu Beweisenden Term argumentieren ? Dass quasi

$\begin{eqnarray*} \bar a^n~\geq~\prod_{k=1}^n~a_k~\cdot~a_{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt und dadurch ebenso gilt, dass

$\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1}~\geq~\prod_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$

oder hab ich da n Fehler im System ?

19.10.2009, 00:59

Wuba

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hab n großen Fehler im System. Hab die Lösung aber auf andere Weise gefunden.

19.10.2009, 13:41

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wuba
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~\left(\frac{1}{n+1}~\cdot~\sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right)^{n+1}~\geq~\left(\frac{1}{n}~\cdot~\sum_{k=1}^{n}~a_k\right)^n~\cdot~a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich hab ja jetzt gezeigt, dass dieses "Man betrachte" dem Induktionsschrit n->n+1 entspricht. Aber der Teil hinter dem $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ hat jetzt in der Klammer den Ursprungsteil, der größer ist.

Ich weiss ja jetzt, dass
$\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1}~\geq~\bar a^n~\cdot~a^{n+1} \end{eqnarray*}$

Darf ich dann mit dem zu Beweisenden Term argumentieren ? Dass quasi

$\begin{eqnarray*} \bar a^n~\geq~\prod_{k=1}^n~a_k~\cdot~a_{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt und dadurch ebenso gilt, dass

$\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1}~\geq~\prod_{k=1}^{n+1}~a_k \end{eqnarray*}$

oder hab ich da n Fehler im System ?

Eigentlich wärst du damit schon fertig gewesen, denn mit vollständiger Induktion folgt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}~\cdot~\sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right)^{n+1}~\geq~ \overbrace{\left(\frac{1}{n}~\cdot~\sum_{k=1}^{n}~a_k\right)^n}^{\geq \prod_{k=1}^na_k \text{ nach IV}}~\cdot~a_{n+1} \geq \left(\prod_{k=1}^na_k \right) \cdot a_{n+1} = \prod_{k=1}^{n+1}a_k \end{eqnarray*}$

Was mir allerdings nicht gefällt ist die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}a_k \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ , denn es ist $\begin{eqnarray*} \bar a^{n+1} = \left( \frac{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n}a_k \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung mit Summen- und Produkzeichen

Verwandte Themen