Matrizenrechnungen mit Beweis

18.10.2009, 17:22

Torrac

Matrizenrechnungen mit Beweis

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ein Körper. Sei $\begin{eqnarray*} f : M \end{eqnarray*}$ 2x2 [ $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ] $\begin{eqnarray*} -> \mathbb K \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} -> a+d \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \in M \end{eqnarray*}$ 2x2 [ $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ]. Beweisen sie folgende Behauptungen.

1.Für alle $\begin{eqnarray*} A,B \in M \end{eqnarray*}$ 2x2[ $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ] gilt $\begin{eqnarray*} f(AB) = f(A)f(B) \end{eqnarray*}$ .

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A) = 1+4 = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(B) = 5+8 = 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A*B = \begin{pmatrix} 19 & 24 \\ 43 & 50 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(AB) = 19 + 50 = 69 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A)f(B) = 5*13 = 65 \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} f(AB)<>f(A)f(B) \end{eqnarray*}$

Ist das ein zulässiger Beweis das es nicht stimmt?

2.Für alle $\begin{eqnarray*} A,B \in M \end{eqnarray*}$ 2x2[ $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ] gilt $\begin{eqnarray*} f(A+B) = f(A)+f(B) \end{eqnarray*}$ .

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A) = 1+4 = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(B) = 5+8 = 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A+B) = = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A)+f(B) = 5+13 = 18 \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} f(A+B)=f(A)+f(B) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Ein Kumpel von mir hat all die Rechnungen mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a11 & a12 \\ b21 & b22 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Matrizen gemacht. Er kommt natürlich auf die gleichen Ergebnisse nur finde ich, dass es umständlicher ist.

18.10.2009, 17:35

kiste

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Hallo,

bei 1.) schreibe noch über welchem Körper du im speziellen rechnest, aber sonst ok als Gegenbeispiel

2.) ist zwar richtig aber in keinster Weise ein Beweis! Das musst du allgemein durchrechnen

edit: Argh, hatte nur die Diagonale von Matrixprodukt überprüft Big Laugh

18.10.2009, 17:37

Mazze

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Abgesehn davon das

$\begin{eqnarray*} A*B = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist, hast Du aber ein richtiges Gegenbeispiel angegeben und die Aussage widerlegt. Was die zweite Aufgabe angeht. Du kannst einen Beweis nicht durch ein Beispiel führen. Das hat Ursachen in der Logik. Eine mathematischer Satz trifft eine Aussage über eine Menge von Objekten. Der Satz gilt wenn die den Satz beschreibende Eigenschaft für alle Objekte gilt. D.h wenn wir ein Objekt finden für das die Eigenschaft nicht gilt, gilt der Satz nicht. Um aber zu zeigen das der Satz gilt muss jedes Objekt die Eigenschaft erfüllen, und Du siehst sicher ein das durch angeben eines einzigen Objekts noch nicht sichergestellt ist, das die anderen Objekte die Eigenschaft ebenfalls erfüllen. Daher kannst Du dir folgendes Merken :

Aussagen kann man durch Gegenbeispiel widerlegen.
Aussagen kann man nicht durch Beispiel beweisen.

18.10.2009, 17:46

Torrac

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Oh da hab ich mich verrechnet. Okay das leuchtet mir ein. Ich hab nur ein Beispiel von vielen gemacht, also in keiner Weise ein Beweis. Aber das 1. richtig sit freut mich schonmal^^

Also müsste ich 2. eher allgemein mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Matrizen rechnen oder?

18.10.2009, 17:47

Mazze

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Zitat:

Also müsste ich 2. eher allgemein mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Matrizen rechnen oder?

Ganz genau Augenzwinkern

18.10.2009, 17:49

Torrac

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argh okay. Dann versuch ich das wohl mal.

18.10.2009, 17:53

kiste

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Wobei die Bennenung ja eher komisch erscheint. Wenn du schon Doppelindizes benutzt macht es doch keinen Sinn in der unteren Zeile b statt a zu benutzen, oder? Big Laugh

18.10.2009, 18:06

Torrac

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Zitat:

Original von kiste
Wobei die Bennenung ja eher komisch erscheint. Wenn du schon Doppelindizes benutzt macht es doch keinen Sinn in der unteren Zeile b statt a zu benutzen, oder? Big Laugh

Oh jo wenn man mit Copy+Paste arbeitet und dann noch denkt man müsste darin rummfummeln entsetht so ein misst^^. Natürlich meinte ich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 18:14

Torrac

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Okay dann mal los:

Es soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray*} f(A+B) = f(A)+f(B) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A)=a_{11}+a_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(B)=b_{11}+b_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A+B)=a_{11}+b_{11}+a_{22}+b_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A)+f(B) = a_{11}+a_{22}+b_{11}+b_{22} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} f(A+B) = f(A)+f(B) \end{eqnarray*}$

18.10.2009, 18:18

Mazze

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So gehts, ich würds aber so machen :

$\begin{eqnarray*} f(A + B) = a_{11} + b_{11} + a_{22} + b_{22} = a_{11} + a_{22} + b_{11} + b_{22} = f(A) + f(B) \end{eqnarray*}$

Deine Lösung ist aber auch korrekt.

18.10.2009, 18:57

Torrac

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danke an alle die geholfen haben. Ihr habt mich echt weiter gebracht. Macht spaß hier im Forum Fortschritte zu erarbeiten!

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