quadratische Matrix invertierbar?

18.10.2009, 17:41

Torrac

quadratische Matrix invertierbar?

1. Beweisen Sie: Wenn eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \in M_{nn} {(\mathbb K )} \end{eqnarray*}$ eine Zeile oder Spalte enthält, die nur aus Nullen besteht, dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar.

Angenommen $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sei invertierbar. Ich versuche es durch einen Gegenbeweis zu Beweisen.
Nehmen wir an $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ sei eine beliebige Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann muss $\begin{eqnarray*} AA^{-1} = A^{-1}A = I_n \end{eqnarray*}$ sein.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a+c & b+d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a+c & b+d \\ \end{pmatrix} <> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weil 0=1 eine unwahre Aussage ist. Ist das ein gültiger Beweis?

2.Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in M_{nn} {(\mathbb R)} \end{eqnarray*}$ , deren Einträge alle <> 0 sind, und die nicht invertierbar ist. Begründen Sie warum $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht inventierbar ist.

Ich habe $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gewählt, da mein Kumpel mir irgendwas mit der Determinante von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gesagt hat. Das wäre in dem Fall $\begin{eqnarray*} Det (A) = 1*2 - 1*2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur leider nicht welcher Beweis dafür gilt. Ich weiß auch nicht wirklich wie im mit der Determinante beweisen kann warum diese Matrix nicht invertierbar ist.

kiste: Verschoben ins Algebra-Board. Das hat nichts mit Klausuren zu tun ;-)

18.10.2009, 17:46

kiste

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Hallo,

1.) ist kein gültiger Beweis, du musst das für alle Matrizen mit einer Nullzeile/spalte zeigen. Nicht nur für eine spezielle, und nicht nur für die Größe 2x2.

Eine Idee wäre dazu der Übergang zur zugehörigen lin. Abbildung. Aber ich weiß nicht ob ihr das schon besprochen habt. Ansonsten einfach allg. durchrechnen.

2.) stimmt. Falls du die Determinante nicht kennst rechne allg. nach dass es kein Inverses gibt!

18.10.2009, 17:47

Torrac

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hmm schade. Das mit den allgemeinen Matrizen is nich so mein Ding aber dann muss ich es mal versuchen. Das mit lim haben wir noch nicht.

2. Ich weiß nicht wie ich es beweisen kann. In meinem Heft ist es extrem umständlich beschrieben. Hat jemand einen Tip?

18.10.2009, 17:52

kiste

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Was ist daran umständlich?
Zeige dass das lin. (Abkürzung für linear, hat nichts mit lim wie limes zu tun Big Laugh

) Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Das sind 4 lin. Gleichungen!) keine Lösung besitzt.

18.10.2009, 17:55

Mazze

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Zitat:

Das mit den allgemeinen Matrizen is nich so mein Ding aber dann muss ich es mal versuchen.

Du solltest Dich daran gewöhnen. Mathematische Aussagen sind immer so allgemein wie möglich gehalten. Du wirst niemals einen Beweis finden wo Du nur einfach ein Beispiel durchrechnen musst. Um Dir mal die Tragweite zu verdeutlichen : Die einzigen Zahlen die man in den tiefergehenden Bereichen der Mathematik findet sind meistens nur noch Indizes Augenzwinkern

. (etwas sehr pauschal )

18.10.2009, 17:56

Torrac

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Ah lol ich hatte lim. gelesen. Okay na klar das mit lin. bekomm ich hin (oder sollte ich).

P.S:.: Seid ihr alles Matheprofessoren? Ihr seid ja alle extrem schnell. In der Zeit hätte ich nicht mal den Text gelesen, da gebt ihr schon die Antwort. Dauemn hoch Jungs.

18.10.2009, 18:03

Mazze

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Zitat:

P.S:.: Seid ihr alles Matheprofessoren?

Es gibt einige hier im Board die sicherlich die Erfahrung und die Fähigkeiten dazu zu besitzen. Ich gehöre da nicht dazu. Allerdings sind die Sachen mit denen Du Dich beschäftigst so zu sagen das Handwerkszeug der Mathematik. D.h diese Aussagen und Methoden verwendet man dann für die tieferliegenden und anspruchsvolleren Gebiete. Daher hat jeder der sich weiterführend mit Mathematik beschäftigt für solche Dinge ein intuitives Verständnis, mit andern Worten, die Mathematik wird so schwierig das diese Dinger da leicht sind Big Laugh

18.10.2009, 18:03

Torrac

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. a+2c = 1 II. b+2d = 0 III. a+2c = 0 IV. b+2d = 1 \end{eqnarray*}$
------------------------------
$\begin{eqnarray*} I. - III. 0 = 1 \end{eqnarray*}$
------------------------------
$\begin{eqnarray*} II. - VI. 0 = -1 \end{eqnarray*}$

Und da 0=1 und 0=-1 unwahre Aussagen sind ist bewiesen, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2\\1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar ist?

Zitat:

Original von Mazze
mit andern Worten, die Mathematik wird so schwierig das diese Dinger da leicht sind Big Laugh

Das macht mir Hoffnung^^

18.10.2009, 18:08

Mazze

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Zitat:

Und da 0=1 und 0=-1 unwahre Aussagen sind ist bewiesen, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2\\1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar ist?

Richtig ! Das erste 0 = 1 hätte auch schon gereicht.

Zitat:

Das macht mir Hoffnung^^

Es kommt auch drauf an wie tief Du in die Mathematik im Studium tauchst.

18.10.2009, 18:21

Torrac

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Und für 1. müsste dann gelten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. 0 = 1 II. 0 = 0 III. a+c = 0 IV. b+d = 1 \end{eqnarray*}$
------------------------------
$\begin{eqnarray*} I. - II. 0 = 1 \end{eqnarray*}$

Da 0=1 unwahr ist ist A nicht invertierbar.

Muss ich den Schritt I.-II. noch bringen? Weil I. und II. widerlegen sich ja schon selbst, ohne das ich noch I.-II. zeigen müsste.

18.10.2009, 18:23

Mazze

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Zitat:

Muss ich den Schritt I.-II. noch bringen? Weil I. und II. widerlegen sich ja schon selbst, ohne das ich noch I.-II. zeigen müsste.

Wenn das Gleichungssystem von vornherein nicht lösbar ist, wieso solltest Du dann noch irgendwas damit machen ? Augenzwinkern

18.10.2009, 18:58

Torrac

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danke an alle die geholfen haben. Ihr habt mich echt weiter gebracht. Macht spaß hier im Forum Fortschritte zu erarbeiten!

19.10.2009, 12:00

Nubler

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und etz des ganze für bel. n

es geht auch wesentlich schneller:

du weisst ja
$\begin{eqnarray*} AA^{-1}=\mathbb{E} \end{eqnarray*}$

lass etz darauf mal die operation "determinante" los

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