Definition des Begriffs "kontragradient"

18.10.2009, 20:06	Ichnennmichmalfonsi	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition des Begriffs "kontragradient" Hallo, in einem nicht-Mathe Skript lese ich, dass zwei Vektoren "kontragradient" seien. Übersetzt heißt das wohl gegenläufig. Dieser Begriff sagt mir nichts, auch Google hat mir da nicht geholfen. Ich kenne auch keine "gradienten" Vektoren, falls es diese gibt. Kann mir jemand eine Definition von "gradient" und "kontragradient" geben?
19.10.2009, 12:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff "kontragredient" kommt bei Koordinatentransformationen vor: Angenommen du hast einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x}= \sum_{k=1}^n~x_i \vec{b}_i \end{eqnarray}$ , der bezüglich irgendeiner Basis $\begin{eqnarray} \vec{b}_i \end{eqnarray}$ dargestellt wurde. Stellt man denselben Vektor bezüglich einer anderen Basis $\begin{eqnarray} \vec{b'}_i \end{eqnarray}$ dar, ändern sich natürlich auch die Koordinaten, also $\begin{eqnarray} \vec{x}= \sum_{k=1}^n~x'_i \vec{b'}_i \end{eqnarray}$ . Die Striche sollen anzeigen, dass es sich um neue Basisvektoren und neue Koordinaten handelt. Der Zusammenhang zwischen der alten und neuen Basis sei durch folgende Transformation gegeben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \vec{b'}_1 \\ \vec{b'}_2 \\ \vec{b'}_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{b}_1 \\ \vec{b}_2 \\ \vec{b}_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann bekommt man die neuen Koordinen durch die Transponierte der inversen Matrix also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \vec{x'}_1 \\ \vec{x'}_2 \\ \vec{x'}_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}^{T-1} \begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vec{x}_2 \\ \vec{x}_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Matrix $\begin{eqnarray} A^{T-1} \end{eqnarray}$ , mit der sich die Koordinaten transformieren, bezeichnet man als die kontragrediente Matrix zu A, mit der sich die Basisvektoren transformieren (und umgekehrt). Man sagt auch die Koordinaten transformieren sich kontragredient zur Basis. Zuviel ich weiß bezieht man den Begriff "kontragredient" also immer auf Matrizen, nicht auf Vektoren.
20.10.2009, 00:52	Fonsi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Fasse ich das also richtig (und ein wenig lapidar) zusammen: "kontragradient" ist ein etwas kürzeres Wort für "transponiert und invertiert" bzw. "invertiert und transponiert", wird aber gewöhnlich nur in Zusammenhang mit Basiswechseln gebraucht. (Letzteres ist in meinem Skript tatsächlich der Fall)
20.10.2009, 09:24	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, entschuldigige. Ich sehe gerade, ich habe den Begriff "kontragredient" erklärt. Du hattest dagegen nach dem Begriff "kontragradient" gefragt. Ehrlich gesagt habe ich das Attribut "kontragradient" noch nie gehört. Ich vermute aber, dass der kontragradiente Vektor derjenige sein soll, der dem Gradient entgegengesetzt ist. Was ist der Gradient? Der Gradient ist in einem Skalarfeld derjenige Vektor, dessen Richtung zum größten Anstieg zeigt und dessen Betrag diesem Anstieg entspricht. Beispiel: Bei topografischen Karten von Gebirgen werden oft Höhenlinien eingezeichnet, z.B. für h=500m, h=600m, usw. So ein Gebirge kann man als Skalarfeld h(x,y) auffassen, wobei h(x,y) die Höhe des Punktes (x,y) über dem Meeresspiegel ist, also über der xy-Ebene. Angenommen ein Wanderer steht im Gebirge am Punkt (x,y) und hat die Höhe h(x,y) über Null erreicht. Dann kann er ausgehend vom momentanen Standpunkt (x,y) in beliebige Richtungen weiter wandern. Der Gradient grad(h(x,x)) ist nun derjenige Vektor, der in die Wanderrichtung mit dem momentan steilsten Anstieg zeigt (also zum Gipfel) und dessen Betrag gerade dieser steilste Anstieg ist (also der Tangens des steilsten Anstiegswinkels) Demnzufolge vermute ich, dass der kontragardiente Vektor gerade der entgegengesetzte Vektor -grad(h(x,y)) ist, also derjenige Vektor, der ausgehend vom momentanen Standpunkt (x,y) in die Wanderrichtung mit dem steilsten Abstieg ins Tal zeigt und dessen Betrag gerade dieser steilste Abstieg ist (also der Tangens des steilsten Abstiegswinkels) . Folglich haben der Gradient und der Kontragradient denselben Betrag aber eine entgegengesetzte Richtung. Man kann zeigen, dass der Gradient in meinem Beispiel die Gestalt grad(h(x,y))=(dh/dx\|dh/dy) hat.

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