Mengenalgebra

19.10.2009, 16:29

Mario G.

Mengenalgebra

Hallo,
was bedeutet:

$\begin{eqnarray*} B=\{M|M\subset A\} \end{eqnarray*}$

und wo ist der unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} a \in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a\} \in B \end{eqnarray*}$

Viele Grüße Mario

19.10.2009, 16:49

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein einzelnes Element, $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge die nur a beinhaltet ( +leere Menge ).
$\begin{eqnarray*} B=\{M|M\subset A\} \end{eqnarray*}$ bedeutet B ist eine Menge aller Teilmengen von A.
"Alle M für die gilt: M ist eine Teilmenge von A"

19.10.2009, 17:01

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Hier nochmal die Menge $\begin{eqnarray*} A=\{a,b,c,d,e\} \end{eqnarray*}$

Wieso sind dann $\begin{eqnarray*} a\in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a\} \in A \end{eqnarray*}$ falsch, $\begin{eqnarray*} \{b\} \in B \end{eqnarray*}$ allerdings wahr?

19.10.2009, 17:14

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

A ist eine Menge von Elementen, aber nicht von Mengen. Folglich ist {a} ( was eine Menge ist ) nicht in A. Ähnlich ist B eine Menge von Mengen, folglich ist a ( ein Element ) nicht in B.
{b} ist eine Menge und könnte in B sein ( eine Menge von Mengen ) aber ob das wirklich stimmt kann ich nicht sagen, da du B nicht angegeben hast.
Die Aussagen $\begin{eqnarray*} \{a\}\not\in A;~a\in A \end{eqnarray*}$ wären aber durchaus machbar.
Etwas anschaulicher ( aber ungenauer ):
A ist ein Korb. Er beinhaltet a,b,c,d,e ( könnte z.B. ein Apfel, eine Birne, ein Pfirsich, eine Banane und eine Ananas sein )
B ist ein Riesenkorb, in dem andere Körbe drin sind, welche dann wiederum etwas anderes enthalten. Eine einzelne Banane ist hier aber fehl am Platz.

Diese Vorstellung ist aber wie erwähnt ungenau, da man in eine Menge von Mengen wiederum eine beliebige Menge ( also eben auch erneut eine Menge von Mengen ) hinein werfen könnte. Es ist also eher ein Riesenkorb, in dem irgendwelche Körbe drin sind, welche wiederum irgendetwas enthalten können. Ausserdem sind Mengen weitaus abstrakter als irgendwelche "Körbe"

19.10.2009, 17:30

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also mehr ist in der Aufgabe nicht gegeben. Man hat eine Aussage, und soll entscheiden, ob diese wahr oder falsch ist.
Also a,b,...,e sind Elemente. Die Menge B beinhaltet weitere Mengen, welche jedoch Teilmengen von A sind. Aber A hat doch gar keine weiteren Teilmengen oder?

19.10.2009, 17:41

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich vergaß die Definition von B aus dem Ursprungspost. Natürlich ist dann $\begin{eqnarray*} \{b\}\in B \end{eqnarray*}$
Teilmenge beutet: Ist ein Element x in der Teilmenge von A, so ist es auch in A.
Folglich sind Beispiele für Teilmengen von A z.B. {b},{a,b,e},{d,b},{d} und so weiter. Deswegen auch Teilmenge, also ein Teil der Menge.

19.10.2009, 17:48

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von A ist. Wieso ist dann a nicht in B enthalten? das Element ist ja schließlich auch in A enthalten.

19.10.2009, 17:55

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} \{a\}\in B;~a\not\in B \end{eqnarray*}$
Die Teilmenge ist enthalten, das Element nicht.

19.10.2009, 17:58

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hat die Teilmenge $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ nichts mit dem Element a zu tun und dieses ist auch nicht in dieser Teilmenge enthalten?

19.10.2009, 18:01

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} a\in \{a\} \end{eqnarray*}$ . Der Korb mit a drin ist in B enthalten, a liegt aber nicht einfach nur so in B.

19.10.2009, 18:05

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut das ist jetzt klar. Nur $\begin{eqnarray*} A \in B \end{eqnarray*}$ ist auch wahr. Das kann ich mir noch erklären, da die Menge A ja in B enthalten sind, in der Alle Teilmengen von A, also auch A selbst enthalten ist. Aber wieso gilt nicht $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ ? Also warum ist A keine Teilmenge von B?

19.10.2009, 18:16

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits erwähnt, B ist eine Menge von Mengen, A eine Menge von Elementen.
Teilmengen von B sehen z.B. so aus: $\begin{eqnarray*} \{\{d,e\},\{a\},\{a,b,c,d,e\}\};~\{\{a,b\},\{d\},\{a,b,c,d,e\}\};~\{\{a\}\} \end{eqnarray*}$

Man muss etwas mit der Notation aufpassen, aber generell hast du Recht:
$\begin{eqnarray*} M\subset B \end{eqnarray*}$ schließt den Fall M=B nicht unbedingt aus. Soweit mir bekannt ist gibt es aber auch viele, die dafür explizit $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ schreiben, wenn A=B erlaubt ist. $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ ist dann für sie nur echtes enthalten sein, also geht A=B nicht. Das ist aber nur ein Notationskrieg, der soll dich nicht weiter stören Augenzwinkern

19.10.2009, 18:28

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wars dann auch fast. Jetzt ist nur noch eine Unklarheit. Und zwar über die leeren Mengen und über das Element der Leeren Menge:

$\begin{eqnarray*} \varnothing \in B \end{eqnarray*}$
Die Aussage ist war. Aber ist das nicht eigentlich ein Element.

$\begin{eqnarray*} \varnothing \subset B \end{eqnarray*}$
Bedeutet eigentlich in dem Fall fast das gleiche wie das obige, oder?

$\begin{eqnarray*} \{\varnothing\ \subset B} \end{eqnarray*}$
wieder fast das gleiche nur das diesmal die Menge der leeren Menge gegeben ist.?

19.10.2009, 18:43

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aus formalen Gründen setzen wir fest, dass die leere Menge Teilmenge von jeder Menge ist

Also: $\begin{eqnarray*} \varnothing\subset B \end{eqnarray*}$
Folglich auch $\begin{eqnarray*} \varnothing\subset A \end{eqnarray*}$ und da B die Menge aller Teilmengen ist enthält B auch die leere Menge.
Beachte mal wieder: B beinhaltet Mengen. Folglich kann B ohne Probleme die leere Menge beinhalten.

Dazu will ich noch eine eventuell Missverständliche Sache aus einem meiner vorherigen Posts neu schreiben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge die nur a beinhaltet ( +leere Menge ).

war so gemeint, dass die leere Menge auch eine Teilmenge ist, jedoch kein Element. Ich denke aber bisher hast du dich daran noch nicht aufgehängt Augenzwinkern

Ich hätte eher schreiben sollen ( +leere Menge ist Teilmenge ) oder etwas in der Art.

19.10.2009, 19:03

Mario G.

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Noch eine Frage macht es in dem Fall einen Unterschied, ob man schreibt die leere Menge ist Element oder Teilmenge von B?

19.10.2009, 19:13

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

Sie ist beides. Denn die leere Menge ist nach Definition Teilmenge. Es ist allerdings explizit ( hier in dieser Aufgabe ) B die Menge aller Teilmengen von A. Es ist aber auch nach Definition die leere Menge Teilmenge von A. Folglich ist die leere Menge eine mögliche Teilmenge, und folglich in B, also Element von B.
Beachte erneut: die Elemente von B sind Mengen. Sonst könnte die leere Menge kaum ein Element sein.

08.11.2009, 02:43

kaufmanm

Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich stellt sich die frage, ob es überhaupt möglich ist, Element einer Menge zu sein, ohne gleichzeitig auch eine Untermenge davon zu sein.

Beispiel: Betrachten wir einen Apfel A. Er besteht aus Schale S, Fruchtfleich F und Kern K, d.h.

Logisch gesehen, sieht es so aus: A = {S, F, K}

K ist element von A. Der Kern selbst ist wiederum eine Menge von k Molekülen M_1 bis M_k.

A = {S, F, {M_1, ..., M_k}}.

Meine Frage ist jetzt: Was ist der Unterschied zwischen K und {K} und warum gilt nicht K = {K}?

In diesem Beispiel ist das eher unlogisch: Wenn K als Element von A nicht gleich {K} ist, was ist denn der Unterschied? Oder anders gefragt, sind die Moleküle, die den Kern des Apfels ausmachen, nicht auch im Apfel selbst enthalten? D.h. M_1 wäre dann Element von A?

Na, irgendwelche Antworten?

Gruss, MK

Neue Frage »

Antworten »

Mengenalgebra

Verwandte Themen