Gleichheit von Mengen beweisen

19.10.2009, 18:00

Jin

Gleichheit von Mengen beweisen

Ich habe eine kleine Frage zu einer Übungsaufgabe

Zitat:

Es seien L, M und N beliebige Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie:
$\begin{eqnarray*} (L\setminus M)\setminus N = L\setminus(M \cap N) \end{eqnarray*}$

Alles was mir bis jetzt zur Verfügung steht ist das hier:
http://www.math.uni-sb.de/ag/groves/lehr...s1/scriptum.pdf

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich um den Beweis durchzuführen folgenden Zusammenhang benutzen darf:

$\begin{eqnarray*} A \setminus B = A \cap \overline {B} \end{eqnarray*}$

Mir ist klar dass es stimmt, aber ich bin mir nicht sicher ob sich dieser Zusammenhang aus den gegebenen Definitionen und Axiomen so überhaupt erschließen lässt. Ohne diesen zu verwenden komme ich bei dem Beweis aber leider nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Hinweis geben.

Ich bedanke mich schonmal für eure Hilfe

gruß, Jin

19.10.2009, 19:09

Elvis

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Beweis das doch, dann darfst du es benutzen. Der Beweis für dein "Lemma" geht ganz einfach über die Definition der Gleichheit von Mengen. D.h. du zeigst $\begin{eqnarray*} x\in A \backslash B \Leftrightarrow x \in A \cap \overline B \end{eqnarray*}$ .

19.10.2009, 20:24

Jin

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Also in etwa so?

$\begin{eqnarray*} A \subseteq U \Rightarrow x \in A \Rightarrow x \in U \\\\ x \in (A\setminus B) = x \in A, x \notin B \Rightarrow x \in A, x\in U, x \notin B = x \in (A \cup \overline{B}) \\ x \in (A \cup \overline{B}) = x \in A, x\in U, x \notin B \Rightarrow x \in A, x \notin B = x \in (A\setminus B)\\\\ \Rightarrow (A\setminus B) \subseteq (A \cup \overline{B}), (A \cup \overline{B}) \subseteq (A\setminus B) \Rightarrow (A\setminus B) = (A \cup \overline{B}) \end{eqnarray*}$

19.10.2009, 21:23

Jin

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Ich hab nen Fehler eingebaut, seh ich grad, mein natürlich

$\begin{eqnarray*} A \subseteq U \Rightarrow x \in A \Rightarrow x \in U \\\\ x \in (A\setminus B) = x \in A, x \notin B \Rightarrow x \in A, x\in U, x \notin B = x \in (A \cap \overline{B}) \\ x \in (A \cap \overline{B}) = x \in A, x\in U, x \notin B \Rightarrow x \in A, x \notin B = x \in (A\setminus B)\\\\ \Rightarrow (A\setminus B) \subseteq (A \cap \overline{B}), (A \cap \overline{B}) \subseteq (A\setminus B) \Rightarrow (A\setminus B) = (A \cap \overline{B}) \end{eqnarray*}$

20.10.2009, 16:30

Andi24

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Hi,

also ich muss das Übungsblatt von Groves auch bearbeiten ;-).

Ich hab die Aufgabe mit Venn-Diagrammen gelöst, war ja nicht explizit angegeben, wie das bewiesen werden soll. Müsste eigentlich auch durchgehen, oder?

Wie siehts denn bei dir bei den restlichen Aufgaben aus? Schon gelöst?

Gruß

20.10.2009, 16:32

lgrizu

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Venn-diagramme sind keine Beweise......

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