Punkte einer Funktion, deren Tangente durch einen bestimmten Punkt geht

19.10.2009, 23:49

Wuba

Punkte einer Funktion, deren Tangente durch einen bestimmten Punkt geht

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Zitat:

Die Kurve K im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ sei durch die Gleichung y=x²-x³ gegeben. Für einen Punkt $\begin{eqnarray*} Q~=~\left(\zeta_1,\zeta_2\right) \end{eqnarray*}$ auf K bezeichne $\begin{eqnarray*} T_Q \end{eqnarray*}$ die Tangente an die Kurve im Punkt Q. Man bestimme für einen Punkt P = (a,0) auf der x-Achse alle Punkte Q, deren Tangente $\begin{eqnarray*} T_Q \end{eqnarray*}$ durch P geht.

Die Kurve K sieht hierbei wie folgt aus:

[attach]11544[/attach]

Um die Steigung der Tangente zu berechnen bauche ich die Ableitung.

y' = 2x - 3x²

Die Tangentengleichung für ist definiet durch:

$\begin{eqnarray*} T_Q = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0) \end{eqnarray*}$

woraus folgt:

$\begin{eqnarray*} T_Q = m~\cdot~(x-\zeta_1)+\zeta_2 \end{eqnarray*}$

Was ist aber jetzt mit P ? Wie wird das a gewählt ? Such ich mir eins aus ? Muss ich dann Beweisen, dass das für alle a auf der x-Achse gilt ? Was genau ist das Ziel ?

Ich kann ja nicht für jeden Punkt die Tangente berechnen und dann überprüfen, ob diese P schneiden !?

danke schonmal...

Edit: Bilder bitte immer im Board hochladen, damit sie nicht irgendwann verschwinden. Gruß, Reksilat.

20.10.2009, 09:10

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Wuba
Was ist aber jetzt mit P ? Wie wird das a gewählt ? Such ich mir eins aus ?

Nein, ich denke, du sollst von einem fest vorgegebenem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ausgehen.

Zitat:

Original von Wuba
Ich kann ja nicht für jeden Punkt die Tangente berechnen und dann überprüfen, ob diese P schneiden !?

Doch natürlich kannst du das. Dabei solltest du auf eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \zeta_1 \end{eqnarray*}$ kommen.

20.10.2009, 11:54

Ehos

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Für eine Kurve soll man alle möglichen Berührungspunkte derjenigen Tangenten bestimmen, welche durch einen vorgegebenen Punkt (a|0) gehen. Die Kurve lautet

(1) $\begin{eqnarray*} y=x^{2}-x^{3} \end{eqnarray*}$

Setzt man den Punkt (a|0) und den Tangentenanstieg $\begin{eqnarray*} m=f'(x_0) \end{eqnarray*}$ in die allgemeine Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=m \cdot x +n \end{eqnarray*}$ ein, ergibt sich $\begin{eqnarray*} 0=f'(x_0)\cdot a+n \end{eqnarray*}$ . Umstellen nach n ergibt $\begin{eqnarray*} n=-f'(x_0) \cdot a \end{eqnarray*}$ . Nun kennen wir von der Tangente $\begin{eqnarray*} y=m \cdot x +n \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} n=-f'(x_0) \cdot a \end{eqnarray*}$ und den Anstig $\begin{eqnarray*} m=f'(x_0) \end{eqnarray*}$ . Einsetzen beider Werte in die Geradengleichung $\begin{eqnarray*} y=m \cdot x +n \end{eqnarray*}$ ergibt die Tangente mit dem Berührungspunkt $\begin{eqnarray*} (x_0|y_0) \end{eqnarray*}$ .

(2) $\begin{eqnarray*} y=f'(x_0) \cdot x-f'(x_0) \cdot a \end{eqnarray*}$

Die gesuchten Berührungspunkte sind die Lösungen des Gleichungssystems (1), (2). Gleichsetzen beider Gleichungen führt zu

$\begin{eqnarray*} 0=x^{3}-x^{2}+f' \cdot x-f' \cdot a \end{eqnarray*}$

Dies ist eine kubische Gleichung, die man nicht so einfach allgemein lösen kann. Wir lösen sie für einen speziellen Fall a=1, also P(1|0):

Für a=1 findet man durch Probieren die Lösung x=1 der obigen kubischen Gleichung. Einsetzen dieses Wertes in die Kurve $\begin{eqnarray*} y=x^{2}-x^{3} \end{eqnarray*}$ liefert den zugehörigen y-Wert y=0. Also wäre (1|0) der gesuchter Berührungspunkt der Tangente. Der Anstieg dieser Tangente ist die Ableitung der Kurve an diesem Punkt, also bei x=1. Das ist m=-1. Die Tangente mit diesem Anstieg m=-1 durch den speziellen Punkt (a|0)=(1|0) wäre also y=-x+1. Das kann man sich anhand deines Schaubildes der Kurve gut vorstellen.

20.10.2009, 13:34

Reksilat

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@Ehos:
Der Berührungspunkt ist $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und erfüllt die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} 0=x_0^3-x_0^2+f'(x_0)\cdot x_0-f'(x_0)\cdot a \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hat aber offensichtlich immer eine triviale Nullstelle (die auch anschaulich schnell klar wird) und somit wird das Problem auf die Nullstellenberechnung einer quadratischen Gleichung reduziert.

Dein Beispiel ist imho etwas ungünstig, denn für a=1 liegt (a|0) auf der Kurve selbst und so ist klar, dass die Tangente durch (a|0) auch durch (a|0) geht. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

btw: Das hat nichts mit Hochschulalgebra zu tun. Verschoben

21.10.2009, 08:43

Ehos

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stimmt

21.10.2009, 23:22

Wuba

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Da seh ich jetzt aber noch keine Allgemeine Lösung für alle Punkte, deren Tangente den Punkt P=(a/0) schneidet !? unglücklich

22.10.2009, 00:54

Reksilat

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Dann streng Dich ein wenig an! Mehr Hilfe als hier kannst Du eigentlich kaum erwarten. Ich hatte schon fast ein schlechtes Gewissen dabei, so viel zu verraten.

Gruß,
Reksilat.

22.10.2009, 12:06

Gualtiero

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Ich würde als "mathematische Gymnastik" ein paar grundsätzliche Überlegungen anstellen, die bei der Lösungsfindung dienlich sein können.
Ich verrate Dir wohl nichts mit dem Hinweis, dass Deine Kurve einen Tiefpunkt in (0;0) hat und daher die x-Achse eine Tangente ist. Also alle Punkte (a;0) mit beliebigem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegen einmal auf dieser einen Tangente (hat Reksilat schon gesagt).

Diese eine T halten wir einmal fest und reden jetzt nur noch von weiteren Tangenten.

Der Punkt (1;0) ist Element der Kurve und hat eine Tangente. Wieviele Tangenten gibt es, wenn wir $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ vergrößern und den Punkt nach rechts wandern lassen?

Wieviele Tangenten gibt es, wenn wir $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ verkleinern und den Punkt von (1;0) an nach links wandern lassen?
Dieser Bereich ist etwas heikel. Tipp: Zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt ist in der Regel ein ?-punkt.

22.10.2009, 13:03

Wuba

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Zitat:

Original von Gualtiero
Zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt ist in der Regel ein ?-punkt.

Scheitel- bzw. Wendepunkt mit Steigung 0.

Also eine Gymnastik hat bei mir jetzt bewirkt, dass ich mir ziemlich sicher bin, dass es für jeden Punkt (a,0) genau eine Tangente gibt, die ihn schneidet. Aber wie ich das beweisen soll ist mir wiedermal vollkommen unklar -.-

Irgend ne Synapse ist bei mir im Hirn wohl falsch geleitet Big Laugh

22.10.2009, 19:22

Gualtiero

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Aber, aber, doch keine Selbstgeißelungen.

Zitat:

Scheitel- bzw. Wendepunkt mit Steigung 0.

Da sind zwei Aussagen vermengt worden.
- Ein Scheitelpunkt hat eine Tangente mit Steigung 0
- Wendepunkt wäre die Antwort auf meine Frage.

Ich wollte dich eigentlich nur dazu bringen, zu erkennen, dass es bei dieser Aufgabe verschiedene Bereiche für die Punkte (a;0) gibt, für die es jeweils verschieden viele Lösungen gibt.

Zitat:

dass ich mir ziemlich sicher bin, dass es für jeden Punkt (a,0) genau eine Tangente gibt,

Und ich sage: für z. B. (3;0) gibt es zwei Tangenten, für (0.8; 0) gibt es keine Tangente. Wohlgemerkt, die x-Achse als Tangente bleibt aus dem Spiel.

Ansonsten kann ich Dir nicht weiterhelfen als vielleicht mit diesem Beispiel. Vielleicht kannst Du etwas davon als Hilfe verwenden.

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