Prüfung auf In-Sur-Bijektivität

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RS Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfung auf In-Sur-Bijektivität
Da ich gleich zur vorlesung muss schreib ich hier mal schnell ne aufgabe rein und wäre sehr erfreut wenn mir einer von euch kurz und knapp erklären könnte wie ich 2 Abb. auf In-, surjektivität prüfe. Aus den mitschriften der vorlesung werde ich nicht so recht schlau.

Kurzes beispiel:

ich melde mich dann am nachmittag nochmal. vielleicht bin ich dann schlauer^^
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Injektiv aber nicht Surjektiv.


Gegenbeispiel Surjektiv : Versuche ein zu finden mit

Injektivität musst Du natürlich beweisen Augenzwinkern
RS Auf diesen Beitrag antworten »

hast du vielleicht ne gute seite wo ich die kriterien für in und surjektivität nachlesen kann? oder en gutes beispiel? weil ich weis bis jetzt nicht wann was eintritt.

Habe hier was gefunden: (uralt hier ausm forum^^)

Zitat:
ich hab folgenden rat bekommen:

Die Funktion f: R ’ R mit

f(x) = 2x + 1 = y
ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl y finden wir (mindestens) ein Urbild: Wir lösen die Gleichung y = 2x + 1 nach x auf und erhalten

x = (y - 1) / 2.
Dieses Berechnen von x reicht aber im allgemeinen nicht als Beweis. Man muss die Probe machen: In der Tat ist

f((y - 1) / 2) = 2(y - 1) / 2 + 1 = y.

geht das so als beweis für surjektivität?
ums mal ganz einfach auszudrücken: umformen, probe machen?

Damals hast du mazze dich nciht klar ausgedrückt ob die probe ok ist, man sie machen muss, usw. weil du es nicht genau wusstest. wie schauts aus? kann ich über diese probe surjektivität nachweisen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Dies ist ein konstruktiver Beweis der Surjektivität. Wir geben zu jedem Bild y ein Urbild x an so dass f(x) = y. Solange Du Funktionen hast wo Du einfach Umformen kannst geht das. Du musst nur schauen ob der Ausdruck den Du erhälst für alle Bildwerte definiert ist. Nimmst Du etwa das hier :





Und stellst dann einfach um :



Dann ist dieser Ausdruck für nicht definiert, was auch dazu führt das die Quadratfunktion nicht Surjektiv auf ganz IR ist.

Zitat:
hast du vielleicht ne gute seite wo ich die kriterien für in und surjektivität nachlesen kann?


Ein allgemeines Kriterium gibt es nicht. Du musst stets die Definition benutzen und nachweisen. Für spezielle Funktionsklassen gibts aber manchmal einfache Eigenschaften die die Surjektivität folgern.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Um also in zu zeigen dass keine surjektivität herrscht reicht ein spezielles Gegenbeispiel ala es gibt kein x aus N sodass g(x)=x²=2 gilt.

Und ob die funktion injektiv ist zeige ich wie folgt?

injektiv dann gilt zu zeigen:



Da sowohl g(x) als auch x aus N sind folgt max. als Lösung und damit Injektivität von g(x) oder?

Ich löse also quasi nach x auf und zeige dann per Definitionsbereich, dass nur eine /keine Lösung oder eben mehrere (Beweis durch Widerspruch) übrig bleibt oder?


Ich versuche mich mal an der nächsten Aufgabe

Surjektivität:



Injektivität:



Sqrt{y} ist immer definiert da y aus R+

Damit sind für x immer 2 urbilder definiert. + und - wurzel y.

Also nicht injektiv.

Ist das so schlüssig als beleg?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Merkwürdige Art das aufzuschreiben. Der erste Teil der Veroderung ist ok, wenn das Ausrufezeichen genau eins bedeutet.

Zitat:
Da sowohl g(x) als auch x aus N sind folgt max. als Lösung und damit Injektivität von g(x) oder?


In diesem Fall stimmts, ist aber wirklich sehr schlecht aufgeschrieben. Warum verwendest Du nicht die Definition der Injektivität ?

Eine Funktion (Abbildung) heisst injektiv wenn gilt :



wobei D den Definitionsbereich bezeichnet. Sei nun also das ist Äquivalent zu



Damit ist g injektiv. Die Äquivalenz an dieser Stelle gilt da ist. (quadrieren ist auf positiven Zahlen eine Äquivalenzrelation)

Zu Deiner zweiten : Surjektivität ist in Ordnung, was die Injektivität angeht :

Zitat:


Hier stimmts auch wieder, doch hätte ich die Definition der Injektivität verwendet. , dann ist aber . Damit ist f nicht injektiv. Das ist im Prinzip das was Du gemacht hast, nur nicht so merkwürdig aufgeschrieben.
 
 
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

Ein einfaches Kriterium für die Injektivität linearer Abbildungen: Zeige, dass der Kern Null ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hier stimmts auch wieder, doch hätte ich die Definition der Injektivität verwendet. , dann ist aber . Damit ist f nicht injektiv. Das ist im Prinzip das was Du gemacht hast, nur nicht so merkwürdig aufgeschrieben.


Ich nehm mir also einfach ein beliebiges paar x,y und zeige, dass f(x)=f(y) aber x ungleich y.??
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gleich noch eine BEispielaufgabe:



Surjektiv, da


oder?

Injektiv, da

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Surjektiv, da oder?


Ist in Ordnung, allerdings hätte die Zeile



völlig ausgereicht. Bevor wir zur Injektivität kommen, was mir bei Dir oft auffällt ist, dass Du gerne undefinierte Ausdrücke aufschreibst. Die Funktion g hat zwei Argumente. Diese Zeile:



ergibt absolut keinen Sinn. Zudem ist der ganze Beweis hinfällig da die Funktion nicht injektiv ist. Gegenbeispiele überlegt man sich leicht.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


ergibt absolut keinen Sinn. Zudem ist der ganze Beweis hinfällig da die Funktion nicht injektiv ist. Gegenbeispiele überlegt man sich leicht.


g(x,y)=g(y)

wie müsste das denn aussehen?

und zeig mir bitte mal an einem gegenbeispiel warum di e nicht injektiv ist. kann ich grad nicht nachvollziehen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
g(x,y)=g(y)




So, und nicht anders. Die sollte doch klar sein das nicht definiert ist. Was soll das sein?

Zitat:
und zeig mir bitte mal an einem gegenbeispiel warum di e nicht injektiv ist. kann ich grad nicht nachvollziehen...





Dann ist offensichtlich aber



Da hätte man wirklich drauf kommen können!
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ok das is jetzt klar.

Ich versuch mich ma am nächsten beispiel (wenns jetzt nicht wenigstens in ansätzen richtig ist geb ichs auf^^)



Ich glaube jetzt hab ich ein Problem zu verstehen, was R² ist und damit ob wurzel y über den gesamten Bereich R² definiert ist und g(x) damit surjektiv wäre.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich glaube jetzt hab ich ein Problem zu verstehen, was R²


Wenn Du diese Räume nicht kennst, ist natürlich schwer mit diesen zu arbeiten. Der R² sind alle Koordinatenvektoren mit 2 Komponenten, deren Einträge reell sind. Und Wurzeln aus Vektoren ziehen... nun ja das wäre wiedermal nicht definiert, da ja nichtmal eine Multiplikation definiert ist. Ich rechne es Dir mal durch :

Injektivität :

Die Funktion ist injektiv! Sei dazu

also



Zwei Vektoren sind gleich wenn Ihre Einträge gleich sind. Daraus folgt und das reicht uns schon für die Injektivität.

Surjektiv :

Die Funktion ist nicht Surjektiv. Wähle etwa (-4,-4), dann gibt es kein mit



daher ist die Funktion nicht surjektiv.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich danke dir, ich gehe mal stark davon aus das R² noch in der morgigen vorlesung dran kommt...

Nur zum Verständnis. Wenn ich also g(x)=(-8,64) bestimmen wollte müsste ich x=-8 und x²=64 x jedes für sich vergleichen und dann zeigen welche lösung beides erfüllt.?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich also g(x)=(-8,64) bestimmen wollte müsste ich x=-8 und x²=64 x jedes für sich vergleichen und dann zeigen welche lösung beides erfüllt.?


Du hast ja für jede Komponente des Vektors eine Gleichung. Die erste ist

x = -8 , diese Gleichung legt x bereits fest. Du musst dann nur schauen ob dieses x zum Quadrat gleich der zweiten Komponente ist. In dem Fall ist (-8)² = 64, d.h (-8,64) also tatsächlich ein Bildelement (Ein Funktionswert). (-8,65) zum Beispiel wäre wieder kein Bildelement.
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