Durchschnitt bestimmen |
20.10.2009, 14:38 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Durchschnitt bestimmen a) Die Vorlesung dazu kommt wohl erst noch weil ich das in dieser form noch nie gesehen habe, aber ich wäre schonmal gespannt auf den lösungsansatz. Wie muss ich vorgehen? |
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20.10.2009, 14:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Durchschnitt bestimmen Wenn du das mal in Worte faßt, dann sollte dir das Ergebnis klar sein. |
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20.10.2009, 14:52 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Heißt, ich muss den schnitt von der Menge aller natürlichen Zahlen mit der rechten Menge bilden? und wnen ja wie hat sowas rechnerisch auszusehen? vielleicht an einem einfach anderen beispiel. wie gesagt ich habe das zeichen so noch nicht gesehen, weis von daher nichtmal was es bedeuten soll... (außer meiner vermutung) |
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20.10.2009, 15:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein. Für jedes n aus N hast du eine Menge, wie sie da in dem Ausdruck definiert ist. Von all diesen Mengen mußt du den Durchschnitt bilden. |
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20.10.2009, 15:12 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich hab also den schnitt der mengen zu bestimmen oder? So rein aus der überlegung heraus wäre meine "Lösungsmenge" da ja der term 1/n für große n immer gegen null konvergiert. mal abgesehen davon, wie bestimm ich den durchschnitt beliebig viler mengen rein rehcnerisch? (wie hat es formal auszusehen...) |
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20.10.2009, 15:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau.
Das ist ungenau. Genau genommen sind es alle rationalen q, für die q² = 2 ist.
Man überlegt sich sich, wie die "Lösungsmenge" aussehen muß, und beweist dieses. |
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20.10.2009, 15:36 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja sry is klar folgt ja aus der anfangsdefinition aller mengen. Beweis wäre doch, dass 1/n für fortlaufende n gegen 0 konvergiert Damit gilt für 1/n gegen 0 Ist das damit ausreichend bewiesen? |
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20.10.2009, 20:55 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hätte hier gleich noch ne aufgabe hinterher. Würde ich wie folgt lösen und begründen. , da was sagt ihr dazu? |
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21.10.2009, 08:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Grenzwert stimmt zwar, aber wir haben hier keine Grenzwertbildung. Daher ist auch
formaler Unfug. Wie schon gesagt, mußt du dir überlegen, wie die Ergebnismenge aussieht, und dann zeigen, daß es diese tatsächlich ist. |
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21.10.2009, 09:04 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
na ich überlege mir {q²=2}, aber wie zeige ich das jetzt? muss ich die in die usprüngliche menge einsetzen? |
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21.10.2009, 09:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mathematische Kurzschreibweisen sind ja ganz nett, aber man sollte es damit nicht übertreiben. Wie heißt das ausführlich richtig und welche Elemente liegen nun in der Menge? |
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21.10.2009, 09:44 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Schnittmenge ist leer. da für q aus Q nicht definiert ist. oder? |
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21.10.2009, 09:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du meinst das richtige, aber was du schreibst, ist formales Chaos. Richtig lautet es: Jetzt mußt du "nur" noch zeigen, daß die Schnittmenge tatsächlich leer ist. |
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21.10.2009, 10:02 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
und das zeige ich wie? |
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21.10.2009, 10:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nimm an, die Schnittmenge wäre nicht leer. Dann müßte es ein rationales q geben, das in allen Mengen enthalten ist. Führe das zu einem Widerspruch. |
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21.10.2009, 10:14 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich versteh irgendwie nciht was ich dann genau machen muss. vielleicht noch en tipp wie das ganze auszusehen hat? |
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21.10.2009, 10:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Durchschnitt bestimmen Das ist etwas formale Frickelei. Die Lösung von x² = 2 ist irrational. Es gibt also zu jedem rationalen r ein epsilon > 0, so daß ist. Jetzt mußt du zeigen, daß es ein n_0 gibt, so daß r nicht Element von ist. |
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21.10.2009, 10:32 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich raffs nicht. keine ahnung wie ich das jetzt ansetzen muss. verzweifel hier grad... |
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21.10.2009, 11:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also: sei r eine beliebige rationale Zahl. Da r² ungleich 2 ist, gibt es ein epsilon > 0 mit: oder Wir wählen nun n_0 so, daß ist. Dann folgt aus der obigen Ungleichung: oder . Es kann also nicht sein, daß r² die Ungleichungskette erfüllt. Damit gibt es also eine Menge, in der r nicht enthalten ist. |
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21.10.2009, 11:56 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich versteh jetzt alles bis auf Wir wählen nun n_0 so, daß ist. warum machen wir das? bzw woraus lääst sich schließen dass es so ist. |
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21.10.2009, 12:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Weil das eben zum gewünschten Ergebnis führt.
Würde es ein derartiges n_0 nicht geben, wären die natürlichen Zahlen beschränkt. |
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21.10.2009, 12:31 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok ich hab das jetzt so verstanden. Da Epsilon ja beliebig nah an 0 kommen kann weil zwischen 2-r² und 0 beliebig viele weitere rationale zahlen liegen, da 2-r² nie 0 ist. Dadurch wird der Bruch 1/epsilon beliebig groß. Und da eben N nicht beschränkt ist gibt es ein n_0 das größer ist als dieser bruch. richti gverstanden? |
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21.10.2009, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Zumindest das hast du falsch verstanden. Es geht lediglich darum, daß - egal welches r man nimmt - immer ein epsilon > 0 existiert, so daß der Abstand von r² zu 2 > epsilon ist. Wie nah das epsilon an 0 liegt, ist mir völlig egal. |
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21.10.2009, 13:07 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok kapiert. ich hab jetzt noch ne ähnliche aufgabe im internet gefunden. Meiner intuition nach würde die Schnittmenge wie folgt aussehen. Stimmt das erstmal? wenn ja würde ich mich an nem beweis versuchen... |
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21.10.2009, 13:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. |
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21.10.2009, 13:32 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ich habe versucht, dass mit dem epsilon irgendwie zu übertragen, da es sich ja wieder um 2 intervalle handelt, die aber diesmal = 0 werden dürfen. dabei ist aber nur unsinn rausgekommen -.- Wie schaut der ansatz hier aus? |
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22.10.2009, 10:19 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
komme hier immer noch nicht wirklich weiter. hat jemand en tip wie ich zeige das tatsächlich {q€Q | -2<q<2} als schnittmenge gilt`? |
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22.10.2009, 11:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Erstmal ist die richtige Schittmenge {q € Q | -2 <= q <= 2}. (Hattest du in deinem vorigen Beitrag schon angegeben.) Zeige zunächst, daß jedes r aus {q € Q | -2 <= q <= 2} auch in ist für alle n aus N. Dann zeigst du, daß es zu jedem r mit |r| > 2 ein n_0 gibt, so daß r nicht Element von ist. |
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22.10.2009, 14:10 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn ich also jedes r mit für q in die zu schneidenden Mengen einsetze, Äquivalent gilt das Ganze für r<2. so richtig?
Wie zeige ich dass? |
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22.10.2009, 14:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wir haben es mit Elementen von Mengen zu tun. Die kann man nicht in Mengen "einsetzen".
Dieses formale Chaos mal ordentlich geschrieben: Sei . Dann gilt für alle n aus N: Also ist auch r Element von für alle n aus N. Du mußt dir dringend eine saubere mathematische Schreibweise angewöhnen.
Da solltest du dich mal an die epsilon-Geschichte von der anderen Aufgabe erinnern. |
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22.10.2009, 15:44 | RS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Für |r|>2 gilt: oder für epsilon größer 0 wählen n_0 so dass ist. dann folgt: oder oder Daraus folgt: oder Es folgt Damit folgt Richtig so oder? |
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22.10.2009, 18:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein. Es folgt, daß für jedes r mit |r| > 2 ein n_0 existiert, so daß Damit kann ein r mit |r| > 2 nicht in der Schnittmenge liegen.
Das ist jetzt überflüssig, denn das hatten wir schon in meinem vorigen Beitrag gezeigt. |
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