Durchschnitt bestimmen

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Durchschnitt bestimmen
Man bestimme
a)

Die Vorlesung dazu kommt wohl erst noch weil ich das in dieser form noch nie gesehen habe, aber ich wäre schonmal gespannt auf den lösungsansatz. Wie muss ich vorgehen?
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RE: Durchschnitt bestimmen
Wenn du das mal in Worte faßt, dann sollte dir das Ergebnis klar sein. smile
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt, ich muss den schnitt von der Menge aller natürlichen Zahlen mit der rechten Menge bilden?

und wnen ja wie hat sowas rechnerisch auszusehen? vielleicht an einem einfach anderen beispiel.

wie gesagt ich habe das zeichen so noch nicht gesehen, weis von daher nichtmal was es bedeuten soll... (außer meiner vermutung)
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Zitat:
Original von RS
Heißt, ich muss den schnitt von der Menge aller natürlichen Zahlen mit der rechten Menge bilden?

Nein. Für jedes n aus N hast du eine Menge, wie sie da in dem Ausdruck definiert ist. Von all diesen Mengen mußt du den Durchschnitt bilden. Augenzwinkern
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab also den schnitt der mengen zu bestimmen oder?

So rein aus der überlegung heraus wäre meine "Lösungsmenge" da ja der term 1/n für große n immer gegen null konvergiert.

mal abgesehen davon, wie bestimm ich den durchschnitt beliebig viler mengen rein rehcnerisch? (wie hat es formal auszusehen...)
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Zitat:
Original von RS
ich hab also den schnitt der mengen zu bestimmen oder?

Genau.

Zitat:
Original von RS
So rein aus der überlegung heraus wäre meine "Lösungsmenge"

Das ist ungenau. Genau genommen sind es alle rationalen q, für die q² = 2 ist.


Zitat:
Original von RS
mal abgesehen davon, wie bestimm ich den durchschnitt beliebig viler mengen rein rehcnerisch? (wie hat es formal auszusehen...)

Man überlegt sich sich, wie die "Lösungsmenge" aussehen muß, und beweist dieses. Augenzwinkern
 
 
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist ungenau. Genau genommen sind es alle rationalen q, für die q² = 2 ist.


Ja sry is klar folgt ja aus der anfangsdefinition aller mengen.

Beweis wäre doch, dass 1/n für fortlaufende n gegen 0 konvergiert

Damit gilt für 1/n gegen 0

Ist das damit ausreichend bewiesen?
RS Auf diesen Beitrag antworten »

hätte hier gleich noch ne aufgabe hinterher.



Würde ich wie folgt lösen und begründen.



, da

was sagt ihr dazu?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
Beweis wäre doch, dass 1/n für fortlaufende n gegen 0 konvergiert

Der Grenzwert stimmt zwar, aber wir haben hier keine Grenzwertbildung. Daher ist auch
Zitat:
Original von RS
Damit gilt für 1/n gegen 0

formaler Unfug.

Wie schon gesagt, mußt du dir überlegen, wie die Ergebnismenge aussieht, und dann zeigen, daß es diese tatsächlich ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

na ich überlege mir {q²=2}, aber wie zeige ich das jetzt? muss ich die in die usprüngliche menge einsetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
na ich überlege mir {q²=2},

Mathematische Kurzschreibweisen sind ja ganz nett, aber man sollte es damit nicht übertreiben. Wie heißt das ausführlich richtig und welche Elemente liegen nun in der Menge?
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schnittmenge ist leer. da für q aus Q nicht definiert ist. oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das richtige, aber was du schreibst, ist formales Chaos. Richtig lautet es:



Jetzt mußt du "nur" noch zeigen, daß die Schnittmenge tatsächlich leer ist. smile
RS Auf diesen Beitrag antworten »

und das zeige ich wie?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm an, die Schnittmenge wäre nicht leer. Dann müßte es ein rationales q geben, das in allen Mengen enthalten ist. Führe das zu einem Widerspruch.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh irgendwie nciht was ich dann genau machen muss. vielleicht noch en tipp wie das ganze auszusehen hat?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt bestimmen
Das ist etwas formale Frickelei. Die Lösung von x² = 2 ist irrational. Es gibt also zu jedem rationalen r ein epsilon > 0, so daß ist. Jetzt mußt du zeigen, daß es ein n_0 gibt, so daß r nicht Element von ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich raffs nicht. keine ahnung wie ich das jetzt ansetzen muss. verzweifel hier grad...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also: sei r eine beliebige rationale Zahl. Da r² ungleich 2 ist, gibt es ein epsilon > 0 mit:
oder

Wir wählen nun n_0 so, daß ist.

Dann folgt aus der obigen Ungleichung:

oder .

Es kann also nicht sein, daß r² die Ungleichungskette erfüllt. Damit gibt es also eine Menge, in der r nicht enthalten ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh jetzt alles bis auf

Wir wählen nun n_0 so, daß ist.

warum machen wir das? bzw woraus lääst sich schließen dass es so ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
warum machen wir das?

Weil das eben zum gewünschten Ergebnis führt.

Zitat:
Original von RS
bzw woraus lääst sich schließen dass es so ist.

Würde es ein derartiges n_0 nicht geben, wären die natürlichen Zahlen beschränkt.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich hab das jetzt so verstanden. Da Epsilon ja beliebig nah an 0 kommen kann weil zwischen 2-r² und 0 beliebig viele weitere rationale zahlen liegen, da 2-r² nie 0 ist.

Dadurch wird der Bruch 1/epsilon beliebig groß. Und da eben N nicht beschränkt ist gibt es ein n_0 das größer ist als dieser bruch.

richti gverstanden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
Da Epsilon ja beliebig nah an 0 kommen kann weil zwischen 2-r² und 0 beliebig viele weitere rationale zahlen liegen, da 2-r² nie 0 ist.

Zumindest das hast du falsch verstanden. Es geht lediglich darum, daß - egal welches r man nimmt - immer ein epsilon > 0 existiert, so daß der Abstand von r² zu 2 > epsilon ist. Wie nah das epsilon an 0 liegt, ist mir völlig egal.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ok kapiert.

ich hab jetzt noch ne ähnliche aufgabe im internet gefunden.



Meiner intuition nach würde die Schnittmenge wie folgt aussehen.



Stimmt das erstmal? wenn ja würde ich mich an nem beweis versuchen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
Stimmt das erstmal? wenn ja würde ich mich an nem beweis versuchen...

Ja.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe versucht, dass mit dem epsilon irgendwie zu übertragen, da es sich ja wieder um 2 intervalle handelt, die aber diesmal = 0 werden dürfen. dabei ist aber nur unsinn rausgekommen -.-

Wie schaut der ansatz hier aus?
RS Auf diesen Beitrag antworten »

komme hier immer noch nicht wirklich weiter. hat jemand en tip wie ich zeige das tatsächlich {q€Q | -2<q<2} als schnittmenge gilt`?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ist die richtige Schittmenge {q € Q | -2 <= q <= 2}. (Hattest du in deinem vorigen Beitrag schon angegeben.)

Zeige zunächst, daß jedes r aus {q € Q | -2 <= q <= 2} auch in ist für alle n aus N.

Dann zeigst du, daß es zu jedem r mit |r| > 2 ein n_0 gibt, so daß r nicht Element von ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich also jedes r mit für q in die zu schneidenden Mengen einsetze,



Äquivalent gilt das Ganze für r<2.

so richtig?

Zitat:
Dann zeigst du, daß es zu jedem r mit |r| > 2 ein n_0 gibt, so daß r nicht Element von ist.


Wie zeige ich dass?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
Wenn ich also jedes r mit für q in die zu schneidenden Mengen einsetze,

Wir haben es mit Elementen von Mengen zu tun. Die kann man nicht in Mengen "einsetzen".

Zitat:
Original von RS


Dieses formale Chaos mal ordentlich geschrieben:
Sei . Dann gilt für alle n aus N:



Also ist auch r Element von für alle n aus N.

Du mußt dir dringend eine saubere mathematische Schreibweise angewöhnen.

Zitat:
Original von RS
Zitat:
Dann zeigst du, daß es zu jedem r mit |r| > 2 ein n_0 gibt, so daß r nicht Element von ist.


Wie zeige ich dass?

Da solltest du dich mal an die epsilon-Geschichte von der anderen Aufgabe erinnern.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Für |r|>2 gilt:

oder
für epsilon größer 0
wählen n_0 so dass ist.

dann folgt:

oder
oder

Daraus folgt:

oder

Es folgt

Damit folgt


Richtig so oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
Es folgt

Nein. Es folgt, daß für jedes r mit |r| > 2 ein n_0 existiert, so daß

Damit kann ein r mit |r| > 2 nicht in der Schnittmenge liegen.

Zitat:
Original von RS
Damit folgt

Das ist jetzt überflüssig, denn das hatten wir schon in meinem vorigen Beitrag gezeigt.
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