Rätsel um Dieb und Hund |
| 20.10.2009, 16:50 | Äffchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rätsel um Dieb und Hund ich habe mal ein (für mich zumindest) kniffliges Rätsel, für dessen Lösung mir noch der entscheidende Ansatz fehlt: Ein Dieb rennt vom Punkt A 223m zu Punkt B. An Punkt B dreht er sich um 90° und rennt mit konstanter Geschwindigkeit in diese Richtung. Genau als der Dieb Punkt B erreicht und den Winkel um 90° ändert, rennt ein Hund vom Punkt A los um den Dieb zu schnappen. Dabei rennt dieser Hund genau konstant mit der 3fachen Geschwindigkeit des Diebs und läuft stets genau auf den Dieb zu. Also mit jedem Millimeter, den der Dieb sich weiter in seine eingeschlagene Richtung bewegt, passt der Hund seine Route direkt auf den Dieb an. An welchem Punkt schnappt der Hund den Dieb? Hab das in ein Koordinatensystem übertragen (müsste ja gehen, da der Dieb die Richtung genau um 90° ändert): Koordinatenursprung ist Punkt A (0/0), Punkt B liegt bei B (0/223) und der gesuchte Punkt C hat auf jeden Fall den y-Wert 223. BC bilden also logischerweise eine Horizontale (Funktion f(x) = 223 --> für den Dieb). Der x-Wert von Punkt C stellt die Laufstrecke des Diebs dar. Und die Laufstrecke des Hundes ist 3*x. Die Kurve des Hundes beginnt bei A (0/0) und müsste in etwa hyperbel-förmig auf Punkt C zulaufen und in diesem die Dieb-Horizontale schneiden/berühren (was auch immer...). Leider weiß ich nicht, wie ich auf den Punkt C kommen soll bzw. wie ich auf Länge der hyperbel- oder parabelförmige Hundefunktion komme um zu schauen, an welchem x-Wert deren Länge das 3fache des x-Wertes annimmt. Ich hab dazu eine Bogenlänge-Formel gefunden, allerdings habe ich ja auch keine Funktionsgleichung zum Hund und weiß daher nicht, wie und ob ich diese nutzen kann. Und eine einfache Parabel wird es ja nicht sein, oder? Vielleicht gehe ich auch zu kompliziert an die ganze Sache! Auf jeden Fall wäre es super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!! Vielen, vielen Dank im Voraus :-) |
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| 20.10.2009, 17:07 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Rätsel um Dieb und Hund Suche unter Verfolgungskurven, z. B. http://de.wikipedia.org/wiki/Verfolgungskurve |
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| 20.10.2009, 17:28 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Rätsel um Dieb und Hund traktrix 
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| 20.10.2009, 17:34 | Äffchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Danke :-) Wow, vielen Dank erst einmal. Werde nachher versuchen, es damit zu lösen :-) |
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| 20.10.2009, 17:38 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Rätsel um Dieb und Hund
Nach der Problembeschreibung handelt es sich nicht um die Traktrix. |
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| 20.10.2009, 21:27 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Rätsel um Dieb und Hund Was sind deine eigenen Ideen zur Aufgabe bzw. wo steckst du fest? Hast du bereits eine Skizze erstellt? Der Sinn dieser Aufgabe ist natürlich erstmal zum eigenen Nachdenken und zur Auseinandersetzung mit der Aufgabe zu kommen. Wiki-Links helfen dagegen eher bei unklaren Begriffen/Definitionen 
.Grüße Abakus
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| 21.10.2009, 16:52 | Äffchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, Skizzen habe ich erstellt und wie bereits geschrieben diese in ein Koordinatensystem übertragen. Allerdings steckte ich fest, weil ich nicht wusste, wie genau die Hundekurve aussehen würde (Hyperbel, Parabel, ob deren Ende am Treffpunkt liegt oder ob die Funktion danach weiter läuft) und wie man dafür dann eine Funktionsgleichung aufstellt. Habe ja schon beschrieben, dass ich dachte, man müsse anhand der Bogenlänge vorgehen, was mir aber nicht gelang, da ich ja keine Funktionsgleichung hatte... Nun weiß ich dank Wiki, dass es sich um die gerade Radiodrome handelt. Einfach bei Wikipedia "Radiodrome" suchen --> dort ist ein auf mein Rätsel sehr passendes Beispiel angegeben und zwar unter dem Unterpunkt: "Funktionsgleichung in Kartesischen Koordinaten". Die erstellen da eine schöne Funktionsgleichung (die obere der beiden, wo k ungleich 1 ist, denn mein k = 1/3). Wie die zugehörige Kurve aussieht, weiß ich nun deshalb auch. In etwa so hatte ich meine bereits sogar skizziert. Allerdings macht Wikipedia den Verfolgerpunkt P bei (1/0) fest und darauf basiert deren Funktionsgleichung (die erste wo k ungleich 1 ist). Da mein P aber bei (223/0) liegen müsste, weiß ich nun nicht, wie ich diese Formel auf meinen Sachverhalt übertragen kann... Muss ich nur statt der in der Formel mehrfach auftretenden 1 meine 223 einsetzen? Kann mir da jemand noch weiterhelfen? |
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| 21.10.2009, 17:12 | Äffchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| meine Lösung Hab es soeben basierend auf der an P(223/0) angepassten Wikipedia-Formel, die von P(1/0) ausgeht, wie folgt berechnet: geg.: k = 1/3 (da Hund 3x so schnell wie Dieb) P (223/0) Ao (0/0) Funktionen: a) Hund: / 223 - x^(2/3) 223 - x^(4/3) \ y(x) = 0,5 X l -------------------- -- ---------------------l \ 2/3 4/3 / b) Dieb: Die Funktionsgleichung für den Dieb: x = 0 (da dieser ja sozusagen auf der y-Achse nach oben läuft) Lösung: Dieb-Gleichung in Hundeformel einsetzen, d.h. für x = 0 --> y(0) = 83,625 Der Hund schnappt den Dieb im Punkt (0/83,63), also nachdem der Dieb eine gerade Strecke von 83,63m zurückgelegt hat. =====> Ist das richtig so? Habe ich die Wikipedia-Formel richtig auf mein Beispiel bezogen? Die 83,63m kommen mir schon realistisch vor. |
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| 21.10.2009, 17:19 | Äffchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: meine Lösung Hm, das sollte eigentlich so aussehen (die Punkte bitte wegdenken): a) Hund: .................../ 223 - x^(2/3) ............ 223 - x^(4/3) \ y(x) = 0,5 X l -------------------- -- ---------------------l --> zwei Brüche mit Minus dazwischen ...................\ ..... 2/3 .......................... 4/3 ........ / |
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| 23.10.2009, 20:26 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: meine Lösung Bitte benutze doch den Editor, so ist das kaum zu entziffern. Ansonsten: das was du brauchst ist die vollständige Herleitung, nicht eine Formel, in die dann irgendwas eingesetzt wird. Grüße Abakus
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| 24.10.2009, 10:52 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: meine Lösung Dein Geschreibsel ist wirklich unleserlich, aber 83,625 stimmt |
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