Linare Unabhängigkeit nachweisen

20.10.2009, 18:58	andreas20	Auf diesen Beitrag antworten »
Linare Unabhängigkeit nachweisen Folgende aufgabe: Zz. ist, dass für natürliches n cos(.),cos(.)^2,....,cos(.)^n als Vektoren in Abb(R,R) linear unabhängig sind. Habe es schon mit induktion und widerspruchsbeweis versucht, aber hatte noch keine nennenswerten fortschritte. Bin für jede hilfe dankbar
20.10.2009, 22:40	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linare Unabhängigkeit nachweisen bist du dir der definition von linearer unabhängigkeit bewusst? mit wiederspruch oder induktion kommt man da nicht weiter, einfach mal die definitionen benutzen. ich mach es dir mal mit drei Funktionen vor: sind die Funktionen $\begin{eqnarray} f(x)=x,<br /> f(x)=x^{2},<br /> f(x)=x^{3} \end{eqnarray}$ linear unabhängig? wir benutzen die definition von linearer abhängigkeit: $\begin{eqnarray} ax+bx^{2}+cx^{3}=0 \Rightarrow a=0, b=0, c=0 \end{eqnarray}$ es existiert also nur die triviale lösung a=b=c=0, damit sind die funktionen linear unabhängig. um so etwas zu verdeutlichen kann man auch ein LGS bilden, denn x ist ja nichts anderes als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ demnetsprechend ist $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und so weiter. und das sind ja gerade die einheitsvektoren.
21.10.2009, 07:15	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte bitte widersprechen. Theoretisch kann man lineare Unabhängigkeit von n Objekten für beliebiges n per Induktion zeigen. Es gilt nämlich: $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,...,x_n) \end{eqnarray}$ ist genau dann linear unabhängig wenn gilt: $\begin{eqnarray} x_k \not\in<x_1,x_2,...,x_{k-1}> \forall k \leq n \end{eqnarray}$ . Das bedeutet es genügt zu zeigen, dass cos linear unabhängig ist (nicht so schwer) und dass auch $\begin{eqnarray} (cos,cos^2,...cos^n,cos^{n+1}) \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist, wenn $\begin{eqnarray} (cos,cos^2,...cos^n) \end{eqnarray}$ l.u. ist. sprich, es genügt zu zeigen, dass sich eine Potenz der cosinus-Funktion nicht als Linearkombination kleinerer Potenzen darstellen lässt.
21.10.2009, 08:46	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat, da lag Igrizu ganz daneben. Bei einer Aufgabe dieser Art würde ich sogar an erster Stelle an einen Widerspruchsbeweis denken, etwa mit folgender Idee: Angenommen die Funktionen (nicht Funktionswerte!) $\begin{eqnarray} \cos x, \cos^2 x, \cos^3 x,\ldots \end{eqnarray}$ wären linear abhängig, dann gibt es ein kleinstes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , sodass sich $\begin{eqnarray} \cos^n x \end{eqnarray}$ als Linearkombination von kleineren Potenzen von $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ darstellen lässt, indem ich diese Beziehung, die ja eine Identität von Funktionen darstellt, ableite komme ich dann leicht auf einen Widerspruch...
21.10.2009, 10:16	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder noch elementarer: Wären die Potenzen vom cos linear abhängig und $\begin{eqnarray} \cos^n \end{eqnarray}$ die größte Potenz vom cos, die in einer entsprechenden Abhängigkeitsgleichung mit nichtverschwindenen Koeffizienten vorkommt, so gäbe es ein Polynom f(x) vom Grad n mit reellen Koeffizienten, das an den Stellen x=cos(t) für jedes reelle t eine Nullstelle hat, also dann auf [-1,1] identisch 0 ist...

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