Induktionsbeweise (Peano)

20.10.2009, 20:34

Nani

Induktionsbeweise (Peano)

Guten Tag miteinander!

Ich habe hier ein paar Aufgaben, bei denen ich mir nicht ganz sicher bin, ob sie richtig gelöst wurden:

1.) Für alle x gilt: ((0 * x) = 0)
Induktionsanfang: x=1: 0*1 = 1*0 = 0 stimmt.
Induktionsvoraussetzung: x=n: 0*n = n*0 = 0
Induktionsschritt: n --> n+1: 0*(n+1) = (n+1)*0 = (n*0 + 1*0) = 0

2.) Für alle x gilt: (x * s0 = x und x = s0 * x)
..hier wäre ich um Inputs sehr dankbar.
Meine Überlegungen sind, dass meiner Ansicht nach s0 ja 0 sein müsste, dann aber wäre die Behauptung falsch - deshalb denke ich, hat das s0 eine "andere" Bedeutung, die ich aber nicht kenne.. :S

3.) Für alle x, y, z gilt das Rechts-Distributivgesetz: ((x+y)*z = (x*z) + (y*z))
IA: z=1: ((x+y) * 1 = x + y = (x*1) + (y*1))
IV: z=n: ((x + y)*n = xn + yn = (x*n) + (y*n))
IS: n --> n+1: ((x+y)*(n+1) = xn + x + yn + y = (x*(n+1)) + (y*(n+1)))

Alternativ würde ich hier einfach sagen, dass das aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation und dem Distributivgesetz folgt...

4.) ..zudem soll man noch mit Induktion die folgenden drei Sätze der Zahlentheorie beweisen - aber wie geht das? ..müsste nicht k definiert sein? :S ..bei diesen drei Aufgaben verstehe ich leider nicht wirklich, was zu machen ist? :S

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k = \frac{n(n+1) }{2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k^3 = ( \sum_{k=0}^n~k)^2 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(2k-1) = n^2 \end{eqnarray*}$

Herzlichen Dank im Voraus für die Unterstützung! smile

20.10.2009, 21:46

Abakus

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RE: Induktionsbeweise (Peano)

Zitat:

Original von Nani
1.) Für alle x gilt: ((0 * x) = 0)
Induktionsanfang: x=1: 0*1 = 1*0 = 0 stimmt.
Induktionsvoraussetzung: x=n: 0*n = n*0 = 0
Induktionsschritt: n --> n+1: 0*(n+1) = (n+1)*0 = (n*0 + 1*0) = 0

Zunächst zu 1), denke ich. Was sind hier die Voraussetzungen? (d.h. in welcher alg. Struktur soll das gezeigt werden?)

Grüße Abakus smile

20.10.2009, 22:04

Nani

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RE: Induktionsbeweise (Peano)
Gross Einschränkungen sind nicht vorhanden - es heisst:
Beweise mit Induktion die folgenden Sätze der Peano Arithmetik...

20.10.2009, 23:01

pablosen

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RE: Induktionsbeweise (Peano)

Zitat:

Original von Nani
Gross Einschränkungen sind nicht vorhanden - es heisst:
Beweise mit Induktion die folgenden Sätze der Peano Arithmetik...

Bisher Aufg.1:

IVerankerung: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0*0=0 \end{eqnarray*}$ (Peano-Axiom 5)

Dann folgt die Annahme. Das mach ich dann frühestens morgen abend.
Peano-Axiom 6 so spontan.

Gute Nacht.

20.10.2009, 23:09

Abakus

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RE: Induktionsbeweise (Peano)

Zitat:

Original von Nani
Gross Einschränkungen sind nicht vorhanden - es heisst:
Beweise mit Induktion die folgenden Sätze der Peano Arithmetik...

Also $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist hier vorausgesetzt dann (das kann ein Leser deines Threads nicht automatisch wissen). In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wäre es anders zu zeigen, oder?

Grüße Abakus smile

20.10.2009, 23:12

pablosen

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RE: Induktionsbeweise (Peano)

Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von Nani
Gross Einschränkungen sind nicht vorhanden - es heisst:
Beweise mit Induktion die folgenden Sätze der Peano Arithmetik...

Ja, stimmt. Das steht aber nicht auf dem Aufgabenblatt, muss man zur Verteidigung von Nani sagen. Wurde glaubs mal in der Vorlesung gesagt. Und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ fängt bei 0 an, nicht bei 1. Muss man streng gesagt auch noch definieren.

Halt Logik. smile

21.10.2009, 19:59

Nani

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RE: Induktionsbeweise (Peano)
Okey, diese Aufgabe hat sich erledigt smile

die Fragen zur zweiten, dritten und vierten Aufgabe sind aber immernoch stets aktuell...

21.10.2009, 21:31

pablosen

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RE: Induktionsbeweise (Peano)
Ok, Aufgabe 2: 2 Aussagen (ich beweise jetzt mal die 1.)
$\begin{eqnarray*} \psi_1(x) := x*s(0) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \psi_2(x) := x = x*s(0) \end{eqnarray*}$

Beweis 1.Aussage:
Induktionsverankerung:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \psi_1(0) := 0*s(0) = 0 \end{eqnarray*}$

linke Seite:
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Peano-Axiom 6 $\begin{eqnarray*} \rightarrow 0*0+0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ Peano-Axiom 3 $\begin{eqnarray*} \rightarrow 0*0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ Peano-Axiom 5 $\begin{eqnarray*} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} 0=0 \rightarrow \psi_1(0) \end{eqnarray*}$ bewiesen.

Induktionsannahme:
$\begin{eqnarray*} \psi_1(x) \rightarrow \psi_1(s(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x*s(0) = x \rightarrow s(x)*s(0) = s(x) \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} s(x)*s(0) = s(x) \end{eqnarray*}$
linke Seite:
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Peano-Axiom 6 $\begin{eqnarray*} \rightarrow s(x)*0+s(x) \rightarrow \end{eqnarray*}$ Peano-Axiom 5 $\begin{eqnarray*} \rightarrow 0+s(x) \rightarrow \end{eqnarray*}$ Peano-Axiom 3 $\begin{eqnarray*} \rightarrow s(x) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} s(x)=s(x) \rightarrow \psi_1 \end{eqnarray*}$ bewiesen.

Ich denke, die Lösung ist nicht schlecht, kann dir aber natürlich auf Richtigkeit keine Garantie geben.
Schönen Abend.

21.10.2009, 23:32

Nani

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RE: Induktionsbeweise (Peano)
oookey, dankedanke! smile

Meine Lösung sieht ähnlich aus! smile

..ich hätte noch eine abschliessende Schlussfrage zur Aufgabe 4:
Und zwar weiss ich gar nicht, was man da überhaupt machen muss, bzw. was zu zeigen ist?!

22.10.2009, 18:11

pablosen

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RE: Induktionsbeweise (Peano)
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k = \frac{n(n+1) }{2} \end{eqnarray*}$

I.Verankerung: für n=0 ausrechnen, ob die Aussage stimmt, also zeigen

I.Annahme: Annahme, dass für n die Aussage gilt. Darauf kannst du dann beim Induktionsschluss wieder Bezug nehmen (oder: die Summe für n so darstellen) und hinten noch dranhängen: + (n+1)...

I.Schluss: Ausrechnen, ob es für (n+1) gilt bzw.zeigen

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