Fibonacci-Folge

21.10.2009, 11:14	169Janine289	Auf diesen Beitrag antworten »
Fibonacci-Folge Hallo, ich verzweifel gerade an der dritten Aufgabe meines Übungsblattes... $\begin{eqnarray} F_n\text{ist definiert durch}F_0:=1;F_1:=1;F_n:=F_{n-1}+F_{n-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Zeigen sie durch vollständige Induktion:Für alle n > = 2(soll größer gleich heissen, wusste das Zeichen grad nicht)gilt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F_{n+1}F_{n-1}-F_n²=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ Deuten sie diese Gleichung ausserdem durch einen Flächenvergleich von Rechtecken! Unsere bisherigen Lösungsansätze laufen völlig ins Leere, deshalb würd ichs mir gern sparen die hier hinzuschreiben...da ich für diesen Latex Text eben auch schon ewig benötigt... VIELEN DANK schonmal für eure Hilfe tigerbine: Latex geteilt. Bitte nicht so lange Zeilen. Danke.
21.10.2009, 11:58	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hier ein kleiner Hinweis für den Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} F_{n+2}\cdot F_n-F_{n+1}^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(F_{n+1}+F_n)\cdot (F_{n-1}+F_{n-2})-(F_n+F_{n-1})^2 \end{eqnarray}$ Hier einfach mal ausmultiplizieren und umstellen. Man erkennt zweimal die Struktur von $\begin{eqnarray} F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_{n}^2 \end{eqnarray}$ und kann diese durch die Induktionsvoraussetzung ersetzen. Es bleibt ein kleiner Rest, womit man noch etwas tricksen muss. Gruß
21.10.2009, 18:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So viel braucht man gar nicht rechnen. Es genügt, in $\begin{eqnarray} F_{n+2} F_n - F_{n+1}^2 \end{eqnarray}$ den Faktor $\begin{eqnarray} F_{n+2} \end{eqnarray}$ nach der Rekursionsformel zu ersetzen. Wenn man dann ausmultipliziert und aus zwei Summanden $\begin{eqnarray} -F_{n+1} \end{eqnarray}$ ausklammert, steht es fast schon da. Denn die Klammer ... Weiß jemand, warum für die Formel $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt wird? Sie gilt doch auch für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ .
21.10.2009, 18:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das >=2 rührt aus der Definition von F_n her, da dort auf 2 Vorgänger zurückgegriffen wird?
21.10.2009, 18:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte sein. Dann steht es im Satz an der falschen Stelle.
31.10.2010, 18:59	Zippe	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab auch so eine aufgabe allerdings ist es bei mir so: $\begin{eqnarray} F_{n+2}F_{n}-F²_n+1=(-1)^n+1 =(-1^{n+1} \end{eqnarray}$ so wenn ich für n=1 das berechne kommt da meiner Meinung nach schon nichts gutes bei rum 31-2²=-1 und für die rechte Seite +1 aber gut wenn ich mir das ganze für n+1 anschau hab ich ja $\begin{eqnarray} F_{n+3}F_{n+1}-F²_{n+1}=(-1)^n+2 =(-1^){n+1} \end{eqnarray}$ oder? setz ich jetzt da für $\begin{eqnarray} F_{n+3} \end{eqnarray}$ den Ausdruck nahc der rekursivformel ein, erhalte ich nach dem ausmultiplizieren und ausklammern $\begin{eqnarray} F_{n+2}(F_{n}+F_{n+2})+F_{n+1}F_{n} \end{eqnarray*}$ also entweder hab ich da nen dicken Fehler drin oder es ist richtig und ich komm jetzt einfach nicht weiter das erste produkt ist ja schon mal richtig genau da willi ch ja eig hin aber was ist mit dem rest... ???
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