Differentialgleichung: Ordnungsumformung

21.10.2009, 11:17	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung: Ordnungsumformung Hallo! Habe ein kleines Verständnisproblem zu folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} \text{Formen Sie folgende Differentialgleichung[en] höherer Ordnung in Differentialgleichung[en] erster Ordnung um, bzw. umgekehrt}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ddot{x}=-x \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war der folgende: Ich definiere $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ mit folgenden Eigenschaften: $\begin{eqnarray} \xi=\begin{pmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ \dot{x} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wobei folgende Bedingungen gegeben sind: $\begin{eqnarray} \dot\xi_1=\xi_2;\quad\dot\xi_2=-\xi_1 \end{eqnarray}$ Oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray} \dot\xi=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \xi \end{eqnarray}$ Bin ich damit jetzt fertig? Und wie würde ich jetzt diese lineare Differentialgleichung lösen? Und wie würde das Ergebnis dieser Diff.-Gl. Rückschlüsse auf die ursprüngliche Diff.-Gl. geben? Mich verwirrt das gerade ein wenig
21.10.2009, 11:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Dgl. der Ordnung n hat, kann man diese in ein Dgl-System der Ordnung 1 mit n Gleichungen umwandeln. Dies macht man insbesondere beim numerischen Lösung, weil Dgl-Systeme 1.Ordnung leicht numerisch handhabbar sind. In deinem fall führst du eine neue Variable y=x' ein. Daraus folgt durch Ableiten y'=x''. Damit ersetzt du in deiner Dgl die 2.Ableitung x''. Somit wird aus deiner Dgl. der Ordnung 2 folgendes Dgl.-System der Ordnung 1 mit 2 Gleichungen: (1) x'=y (=Definition der neuen Variablen) (2) y'=-x (=deine alte Gleichung mit neuer Variablen)
21.10.2009, 11:43	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah gut, vielen Dank, das hilft mir schonmal ein bißchen weiter. Ich bin jetzt erstmal in der Uni, ich werde dann später weiterlesen.

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